lim a->0 (1/a)(sin^3a/cos2a+sin2a cos2a)=

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: lim a->0 (1/a)(sin^3a/cos2a+sin2a cos2a)

Mari kita sederhanakan ekspresi di dalam kurung terlebih dahulu:
sin^3a/cos2a + sin2a cos2a

Kita tahu bahwa sin(2a) = 2sin(a)cos(a) dan cos(2a) = 2cos^2(a) - 1 = 1 - 2sin^2(a) = cos^2(a) - sin^2(a).

Namun, sebelum mengganti dengan rumus double angle, mari kita coba pendekatan lain.

Perhatikan bahwa ekspresi tersebut tidak langsung mengarah pada bentuk tak tentu yang mudah diselesaikan dengan L'Hopital tanpa manipulasi lebih lanjut.

Mari kita coba manipulasi:
(1/a) * [sin^3(a) / cos(2a) + sin(2a)cos(2a)]

Kita bisa menggunakan bahwa lim a->0 sin(a)/a = 1.

Mari kita lihat kembali soalnya. Kemungkinan ada kesalahan pengetikan atau soal ini memerlukan penyederhanaan yang lebih canggih.

Jika kita asumsikan soalnya sedikit berbeda, misalnya:
lim a->0 (sin a / a) * (sin^2 a / cos 2a + sin 2a cos 2a) --> ini masih rumit.

Mari kita coba menggunakan deret Taylor untuk sin(a) sekitar a=0:
sin(a) ≈ a - a^3/6
cos(2a) ≈ 1 - (2a)^2/2 = 1 - 2a^2

sin^3(a) ≈ a^3
sin(2a) ≈ 2a

Substitusikan ke dalam ekspresi:
(1/a) * [a^3 / (1 - 2a^2) + (2a)(1 - 2a^2)]

(1/a) * [a^3 / (1 - 2a^2) + 2a - 4a^3]

Sekarang bagi setiap suku dengan a:
a^2 / (1 - 2a^2) + 2 - 4a^2

Saat a mendekati 0:
0^2 / (1 - 2*0^2) + 2 - 4*0^2 = 0 / 1 + 2 - 0 = 2.

Jadi, dengan asumsi penggunaan deret Taylor, jawabannya adalah 2. Namun, ini adalah metode yang lebih advanced dan mungkin bukan yang dimaksud jika soal ini untuk tingkat SMP/SMA dasar.

Tanpa klarifikasi lebih lanjut atau penyederhanaan yang lebih jelas, jawaban berdasarkan deret Taylor adalah 2.