lim ->pi (tan x)/(sin 2x)= ...

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \pi} \frac{\tan x}{\sin 2x}$, kita dapat menggunakan substitusi langsung dan identitas trigonometri.

Saat kita substitusikan $x = \pi$ ke dalam fungsi:
$\tan \pi = 0$
$\sin (2\pi) = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau menyederhanakan fungsi.

Cara 1: Menggunakan identitas trigonometri
Kita tahu bahwa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ dan $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Maka, ekspresinya menjadi:
$\frac{\tan x}{\sin 2x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{2 \sin x \cos x}$

$= \frac{\sin x}{\cos x} \times \frac{1}{2 \sin x \cos x}$

$= \frac{\sin x}{2 \sin x \cos^2 x}$

Kita bisa membatalkan $\sin x$ (dengan asumsi $\sin x \ne 0$, yang berlaku saat $x \to \pi$ tetapi $x \ne \pi$):
$= \frac{1}{2 \cos^2 x}$

Sekarang kita substitusikan kembali $x = \pi$:
$\lim_{x \to \pi} \frac{1}{2 \cos^2 x} = \frac{1}{2 \cos^2 \pi}$

Karena $\cos \pi = -1$, maka $\cos^2 \pi = (-1)^2 = 1$.

$= \frac{1}{2 \times 1} = \frac{1}{2}$

Cara 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital
Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebutnya secara terpisah:
Pembilang: $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$
Penyebut: $\frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2 \cos 2x$

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to \pi} \frac{\sec^2 x}{2 \cos 2x}$

Sekarang substitusikan $x = \pi$:
$\sec \pi = \frac{1}{\cos \pi} = \frac{1}{-1} = -1$
$\sec^2 \pi = (-1)^2 = 1$
$\cos (2\pi) = 1$

$= \frac{1}{2 \times 1} = \frac{1}{2}$

Jadi, hasil dari $\lim_{x \to \pi} \frac{\tan x}{\sin 2x}$ adalah $\frac{1}{2}$.