lim x->0 (1-cos x)/x^2

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Soal ini adalah tentang limit fungsi trigonometri. Kita diminta untuk mencari nilai dari:
lim x->0 (1-cos x)/x^2

Jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
1 - cos(0) = 1 - 1 = 0
0^2 = 0

Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau identitas trigonometri.

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa 1 - cos x = 2 sin^2(x/2).
Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (2 sin^2(x/2))/x^2

Kita bisa menata ulang ekspresi ini untuk menggunakan limit standar lim (sin u)/u = 1.
Kita punya sin^2(x/2), jadi kita perlu (x/2)^2 di penyebut.
(x/2)^2 = x^2/4.

Limit = lim x->0 2 * [sin(x/2) / x]^2
Kita ingin bentuk sin(u)/u, jadi kita perlu sin(x/2) / (x/2).

Limit = lim x->0 2 * [sin(x/2) / (x/2) * (x/2) / x]^2
Limit = lim x->0 2 * [sin(x/2) / (x/2) * (1/2)]^2
Limit = lim x->0 2 * [sin(x/2) / (x/2)]^2 * (1/2)^2

Saat x -> 0, maka x/2 -> 0. Jadi, lim (x/2)->0 sin(x/2)/(x/2) = 1.

Limit = 2 * (1)^2 * (1/4)
Limit = 2 * 1 * (1/4)
Limit = 2/4
Limit = 1/2

Metode 2: Menggunakan aturan L'Hopital.
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan dari (1 - cos x) adalah -(-sin x) = sin x.
Turunan dari x^2 adalah 2x.

Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (sin x) / (2x)

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita mendapatkan 0/0 lagi.
Jadi, kita gunakan L'Hopital lagi.

Turunan dari sin x adalah cos x.
Turunan dari 2x adalah 2.

Jadi, limitnya menjadi:
lim x->0 (cos x) / 2

Sekarang substitusikan x=0:
(cos 0) / 2 = 1 / 2.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.
Nilai limitnya adalah 1/2.