lim x->0 (f(a-x)-f(a))/x= ....

-f'(a)

Pembahasan

Pertanyaan ini berkaitan dengan definisi turunan dalam kalkulus. Turunan dari sebuah fungsi $f$ di titik $a$, dinotasikan sebagai $f'(a)$, didefinisikan sebagai:

$f'(a) = 
\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Bentuk yang diberikan dalam soal adalah:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(a-x) - f(a)}{x}$

Mari kita bandingkan dengan definisi turunan. Dalam definisi, variabel yang mendekati nol adalah $h$, dan kita memiliki $f(a+h) - f(a)$.

Dalam soal, variabel yang mendekati nol adalah $x$.
Kita memiliki $f(a-x) - f(a)$.

Jika kita mengganti $h$ dengan $-x$ dalam definisi turunan, maka:
Ketika $h 	o 0$, maka $-x 	o 0$, yang berarti $x 	o 0$.

Dan $f(a+h)$ menjadi $f(a+(-x)) = f(a-x)$.

Jadi, definisi turunan menjadi:
$f'(a) = 
\lim_{-x \to 0} \frac{f(a+(-x)) - f(a)}{-x}$

$f'(a) = 
\lim_{x \to 0} \frac{f(a-x) - f(a)}{-x}$

Perhatikan bahwa ekspresi dalam soal adalah:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(a-x) - f(a)}{x}$

Ini berbeda dengan definisi turunan karena adanya tanda negatif pada penyebut.

$\lim_{x \to 0} \frac{f(a-x) - f(a)}{x} = - \lim_{x \to 0} \frac{f(a-x) - f(a)}{-x}$

Karena $\lim_{x \to 0} \frac{f(a-x) - f(a)}{-x}$ adalah $f'(a)$, maka:

$\lim_{x \to 0} \frac{f(a-x) - f(a)}{x} = -f'(a)$

Jadi, jawaban yang benar adalah $-f'(a)$.

Perlu dicatat bahwa $f'(a)$ juga dapat ditulis sebagai $\frac{df}{da}$ atau $\frac{dy}{dx}$ jika $y=f(x)$ dan kita mengevaluasinya di $x=a$. Namun, dalam konteks ini, $f'(a)$ adalah notasi yang paling umum.