lim x->0 (sin2x)/(tan3x) = ....

2/3

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung nilai limit dari suatu fungsi trigonometri. Kita perlu menghitung lim x->0 (sin 2x)/(tan 3x). Kita bisa menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri. Salah satu cara adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan x/x dan memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan limit standar lim u->0 (sin u)/u = 1 dan lim u->0 (tan u)/u = 1. Perhatikan bahwa: (sin 2x)/(tan 3x) = (sin 2x / (2x)) * (2x / (3x)) * (3x / tan 3x) * (1/3). Kita dapat memisahkan limitnya: lim x->0 (sin 2x)/(tan 3x) = lim x->0 (sin 2x / (2x)) * lim x->0 (2x / (3x)) * lim x->0 (3x / tan 3x) * lim x->0 (1/3). Kita tahu bahwa lim x->0 (sin 2x)/(2x) = 1 (karena jika x->0, maka 2x->0). Kita juga tahu bahwa lim x->0 (tan 3x)/(3x) = 1 (karena jika x->0, maka 3x->0), sehingga lim x->0 (3x)/(tan 3x) = 1. Dan lim x->0 (2x)/(3x) = lim x->0 (2/3) = 2/3. Maka, nilai limitnya adalah 1 * (2/3) * 1 * (1/3) = 2/9. Alternatif lain, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital karena bentuk limitnya adalah 0/0 saat x->0. Turunan dari sin 2x adalah 2 cos 2x. Turunan dari tan 3x adalah 3 sec^2 3x. Maka, lim x->0 (sin 2x)/(tan 3x) = lim x->0 (2 cos 2x)/(3 sec^2 3x). Sekarang substitusikan x=0: (2 cos 0) / (3 sec^2 0) = (2 * 1) / (3 * 1^2) = 2/3. Terdapat kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita cek kembali penggunaan Aturan L'Hopital. lim x->0 (sin 2x)/(tan 3x). Turunan sin 2x adalah 2 cos 2x. Turunan tan 3x adalah 3 sec^2 3x. Jadi limitnya adalah lim x->0 (2 cos 2x)/(3 sec^2 3x). Saat x=0, cos(0)=1 dan sec(0)=1. Jadi limitnya adalah (2 * 1) / (3 * 1^2) = 2/3. Mari kita cek kembali metode pertama. lim x->0 (sin 2x)/(tan 3x) = lim x->0 (sin 2x)/(2x) * (2x/tan 3x). Kita bisa tulis (2x/tan 3x) = (2x/sin 3x) * cos 3x. Sehingga kita punya lim x->0 (sin 2x)/(2x) * (2x)/(sin 3x) * cos 3x. lim x->0 (sin 2x)/(2x) = 1. lim x->0 cos 3x = 1. Kita perlu mengevaluasi lim x->0 (2x)/(sin 3x). Kita bisa menulis ini sebagai lim x->0 (2x/3x) * (3x/sin 3x) = (2/3) * 1 = 2/3. Jadi keseluruhan limit adalah 1 * (2/3) * 1 = 2/3. Terdapat kesalahan pada perhitungan awal metode pertama. Jawaban yang benar adalah 2/3. Menggunakan pendekatan lain: lim x->0 (sin 2x)/(tan 3x) = lim x->0 (sin 2x / x) / (tan 3x / x). Kita tahu bahwa lim x->0 (sin ax)/(bx) = a/b dan lim x->0 (tan ax)/(bx) = a/b. Jadi, lim x->0 (sin 2x)/x = 2. Dan lim x->0 (tan 3x)/x = 3. Maka limitnya adalah 2/3.