lim x->0 (tan 2x)/x

Nilai limit \(\lim_{x\to0} \frac{\tan(2x)}{x}\) adalah 2.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mengevaluasi limit dari fungsi \(\frac{\tan(2x)}{x}\) ketika \(x\) mendekati 0.

Limit: \(\lim_{x\to0} \frac{\tan(2x)}{x}\)

Kita tahu bahwa \(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\). Jadi, kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut sebagai:
\(\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{x \cos(2x)}\)

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan sifat limit standar \(\lim_{\theta\to0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1\).

Kita perlu menyesuaikan ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini. Kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2:
\(\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{x \cos(2x)} \times \frac{2}{2}\)

Atur ulang suku-sukunya:
\(\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x} \times \frac{2}{\cos(2x)}\)

Sekarang, kita dapat mengevaluasi limit dari masing-masing bagian:
1.  \(\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x}\)
    Misalkan \(\theta = 2x\). Ketika \(x\to0\), maka \(\theta\to0\). Jadi, limit ini menjadi \(\lim_{\theta\to0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1\).

2.  \(\lim_{x\to0} \frac{2}{\cos(2x)}\)
    Ketika \(x\to0\), \(2x\to0\). Maka \(\cos(2x)\to\cos(0) = 1\).
    Jadi, limit ini menjadi \(\frac{2}{1} = 2\).

Sekarang, kalikan hasil dari kedua limit tersebut:
\(1 \times 2 = 2\).

Jadi, nilai dari \(\lim_{x\to0} \frac{\tan(2x)}{x}\) adalah 2.