lim x->0 (tanx)/(x^2+2x) = ...

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim x->0 (tanx)/(x^2+2x), kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah dengan menyederhanakan ekspresi atau menggunakan aturan L'Hopital jika bentuknya tak tentu.

Metode 1: Penyederhanaan
1. Faktorkan penyebut:
(tanx) / (x(x+2))

2. Kita tahu bahwa tanx = sinx / cosx. Jadi:
(sinx / cosx) / (x(x+2))

3. Susun ulang ekspresi:
sinx / (x * cosx * (x+2))

4. Pisahkan menjadi bentuk yang dikenal (limit sinx/x saat x->0 adalah 1):
(sinx / x) * (1 / (cosx * (x+2)))

5. Terapkan limit x->0:
lim x->0 (sinx / x) * lim x->0 (1 / (cosx * (x+2)))
1 * (1 / (cos(0) * (0+2)))
1 * (1 / (1 * 2))
1 * (1/2)
= 1/2

Metode 2: Aturan L'Hopital
Karena jika kita substitusikan x=0, kita mendapatkan bentuk 0/0 (tan(0)=0 dan 0^2+2(0)=0), kita bisa menggunakan aturan L'Hopital.
1. Turunkan pembilang: d/dx (tanx) = sec^2(x)
2. Turunkan penyebut: d/dx (x^2+2x) = 2x+2

3. Bentuk limit menjadi:
lim x->0 (sec^2(x)) / (2x+2)

4. Substitusikan x=0:
sec^2(0) / (2(0)+2)
(1/cos(0))^2 / 2
(1/1)^2 / 2
1 / 2
= 1/2

Jadi, hasil dari lim x->0 (tanx)/(x^2+2x) adalah 1/2.