lim x ->1 (x^(2n)-x)/(1-x)=...

Nilai limitnya adalah 1 - 2n.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mengevaluasi limit dari suatu fungsi.

lim x -> 1 (x^(2n) - x) / (1 - x)

Jika kita langsung substitusikan x = 1, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0:
(1^(2n) - 1) / (1 - 1) = (1 - 1) / (1 - 1) = 0/0

Kita perlu menggunakan metode lain, seperti faktorisasi atau aturan L'Hopital.

**Metode 1: Faktorisasi**

Kita bisa memfaktorkan x dari pembilang:
lim x -> 1 x(x^(2n-1) - 1) / (1 - x)

Perhatikan bahwa (1 - x) = - (x - 1). Jika kita ingin memfaktorkan (x-1) dari (x^(2n-1) - 1), kita bisa menggunakan rumus selisih pangkat:
a^k - b^k = (a - b)(a^(k-1) + a^(k-2)b + ... + b^(k-1))

Namun, memfaktorkan x^(2n-1) - 1 secara langsung cukup rumit dalam bentuk umum ini.

Mari kita coba manipulasi lain:
lim x -> 1 (x^(2n) - 1 - x + 1) / (1 - x)
lim x -> 1 [(x^(2n) - 1) - (x - 1)] / (1 - x)

Kita tahu bahwa lim x->1 (x^k - 1)/(x - 1) = k.
Dan lim x->1 (x^k - 1)/(1 - x) = -k.

Maka, kita bisa memecah limit menjadi dua bagian:
lim x -> 1 (x^(2n) - 1) / (1 - x)  -  lim x -> 1 (x - 1) / (1 - x)

Bagian pertama:
lim x -> 1 (x^(2n) - 1) / (1 - x) = - (lim x -> 1 (1 - x^(2n)) / (1 - x))
Ini adalah bentuk turunan dari x^(2n) pada x=1, yang hasilnya adalah 2n * 1^(2n-1) = 2n. Jadi, bagian ini adalah -(2n).

Atau gunakan rumus:
lim x->a (x^k - a^k)/(x-a) = k*a^(k-1)
lim x->1 (x^(2n) - 1^(2n))/(x-1) = 2n * 1^(2n-1) = 2n
Jadi, lim x->1 (x^(2n) - 1)/(1-x) = -2n.

Bagian kedua:
lim x -> 1 (x - 1) / (1 - x) = lim x -> 1 - (1 - x) / (1 - x) = -1

Jadi, hasil akhirnya adalah:
-2n - (-1) = -2n + 1

**Metode 2: Aturan L'Hopital**

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menerapkan Aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut terhadap x:

Turunan pembilang (x^(2n) - x) terhadap x adalah: 2n*x^(2n-1) - 1
Turunan penyebut (1 - x) terhadap x adalah: -1

Maka limitnya menjadi:
lim x -> 1 (2n*x^(2n-1) - 1) / (-1)

Substitusikan x = 1:
(2n*1^(2n-1) - 1) / (-1)
(2n*1 - 1) / (-1)
(2n - 1) / (-1)
-(2n - 1)
1 - 2n

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, lim x -> 1 (x^(2n)-x)/(1-x) = 1 - 2n.