lim x -> 13 (akar(x-4-3)/(x-13)

1/6

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai limit fungsi ketika x mendekati 13.

Fungsi yang diberikan adalah:
f(x) = (akar(x-4) - 3) / (x-13)

Kita perlu menghitung lim x->13 f(x).

Jika kita substitusikan x=13 langsung ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu:
Bentuk = (akar(13-4) - 3) / (13-13) = (akar(9) - 3) / 0 = (3 - 3) / 0 = 0 / 0.

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan metode lain untuk menyelesaikan limit ini, seperti mengalikan dengan konjugat atau menggunakan aturan L'Hopital.

Metode 1: Mengalikan dengan Konjugat
Konjugat dari pembilang (akar(x-4) - 3) adalah (akar(x-4) + 3).

lim x->13 [ (akar(x-4) - 3) / (x-13) ] * [ (akar(x-4) + 3) / (akar(x-4) + 3) ]

= lim x->13 [ (akar(x-4))^2 - 3^2 ] / [ (x-13) * (akar(x-4) + 3) ]

= lim x->13 [ (x-4) - 9 ] / [ (x-13) * (akar(x-4) + 3) ]

= lim x->13 [ x - 13 ] / [ (x-13) * (akar(x-4) + 3) ]

Karena x mendekati 13 tetapi tidak sama dengan 13, maka (x-13) tidak sama dengan nol. Kita bisa membatalkan faktor (x-13) di pembilang dan penyebut.

= lim x->13 [ 1 ] / [ (akar(x-4) + 3) ]

Sekarang, substitusikan x = 13:

= 1 / (akar(13-4) + 3)
= 1 / (akar(9) + 3)
= 1 / (3 + 3)
= 1 / 6.

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital
Aturan L'Hopital dapat digunakan ketika kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0 atau tak hingga/tak hingga.

Kita perlu mencari turunan dari pembilang dan penyebut.

Turunan pembilang (d/dx)(akar(x-4) - 3):
Misalkan u = x-4, maka akar(u) = u^(1/2).
d/dx (u^(1/2)) = (1/2) * u^(-1/2) * du/dx
= (1/2) * (x-4)^(-1/2) * 1
= 1 / (2 * akar(x-4)).

Turunan penyebut (d/dx)(x-13) = 1.

Menggunakan aturan L'Hopital:
lim x->13 [ Turunan Pembilang ] / [ Turunan Penyebut ]

= lim x->13 [ 1 / (2 * akar(x-4)) ] / 1

= lim x->13 [ 1 / (2 * akar(x-4)) ]

Sekarang, substitusikan x = 13:

= 1 / (2 * akar(13-4))
= 1 / (2 * akar(9))
= 1 / (2 * 3)
= 1 / 6.

Kedua metode menghasilkan hasil yang sama.

Jadi, nilai limitnya adalah 1/6.