lim x->2 (2sin(x-2))/(tan(x-2))

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 2} \frac{2\sin(x-2)}{\tan(x-2)}$, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit trigonometri. Salah satu sifat penting adalah $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ dan $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} = 1$.

Dalam kasus ini, saat x mendekati 2, maka (x-2) mendekati 0. Kita bisa misalkan $\theta = x-2$. Maka, limitnya menjadi:

$\lim_{\theta \to 0} \frac{2\sin(\theta)}{\tan(\theta)}$

Kita bisa menulis ulang persamaan ini sebagai:

$2 \times \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\tan(\theta)}$

Untuk memanipulasi agar sesuai dengan sifat limit yang diketahui, kita bisa mengalikan pembilang dan penyebut dengan $\theta$:

$2 \times \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} \times \frac{\theta}{\tan(\theta)}$

Karena $\frac{\theta}{\tan(\theta)} = \frac{1}{\frac{\tan(\theta)}{\theta}}$, maka:

$2 \times \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} \times \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\frac{\tan(\theta)}{\theta}}$

Menggunakan sifat limit yang diketahui, $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ dan $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} = 1$, maka:

$2 \times 1 \times \frac{1}{1}$

$= 2$

Jadi, hasil dari $\lim_{x \to 2} \frac{2\sin(x-2)}{\tan(x-2)}$ adalah 2.