lim x->2 (x^2-6x+8)/(x^2+x-6)=...

Nilai limit adalah $-\frac{2}{5}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi:

$\, \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + x - 6}$

Jika kita substitusikan $x=2$, pembilang menjadi $2^2 - 6(2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$, dan penyebut menjadi $2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$. Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan faktorisasi atau aturan L'Hopital.

**Metode Faktorisasi:**
Faktorkan pembilang:
$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$

Faktorkan penyebut:
$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
$\, \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-4)}{(x+3)(x-2)}$

Karena $x \to 2$, maka $x \neq 2$, sehingga kita bisa membatalkan faktor $(x-2)$:
$\, \lim_{x \to 2} \frac{x-4}{x+3}$

Sekarang substitusikan $x=2$:
$\, \frac{2-4}{2+3} = \frac{-2}{5}$

**Metode Aturan L'Hopital:**
Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
$\, \frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 8) = 2x - 6$
$\, \frac{d}{dx}(x^2 + x - 6) = 2x + 1$

Sekarang hitung limit dari turunan tersebut:
$\, \lim_{x \to 2} \frac{2x - 6}{2x + 1}$

Substitusikan $x=2$:
$\, \frac{2(2) - 6}{2(2) + 1} = \frac{4 - 6}{4 + 1} = \frac{-2}{5}$

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah $-\frac{2}{5}$ atau -0.4.