lim x->tak hingga (akar(16x^2+ax+d)-akar(bx^2+4x+c))=1.

-112

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit tersebut, kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga.
lim x->∞ (√(16x² + ax + d) - √(bx² + 4x + c)) = 1

Agar hasil limitnya berupa konstanta (bukan tak hingga atau nol), koefisien dari suku x² di dalam kedua akar harus sama. Dengan kata lain, agar hasil pengurangan akar kuadrat tidak menjadi tak hingga, kedua akar kuadrat harus memiliki suku x² dengan koefisien yang sama setelah disederhanakan.

Untuk suku √ (16x² + ax + d), ketika x->∞, suku dominannya adalah √(16x²) = 4x.
Untuk suku √ (bx² + 4x + c), agar hasil limitnya terdefinisi dan bukan tak hingga, nilai b haruslah 16, sehingga √(bx²) menjadi √(16x²) = 4x.

Jadi, b = 16.

Sekarang, substitusikan b = 16 ke dalam persamaan limit:
lim x->∞ (√(16x² + ax + d) - √(16x² + 4x + c)) = 1

Untuk menyelesaikan limit bentuk ∞ - ∞, kita kalikan dengan bentuk sekawan:
lim x->∞ [(√(16x² + ax + d) - √(16x² + 4x + c)) * (√(16x² + ax + d) + √(16x² + 4x + c)) / (√(16x² + ax + d) + √(16x² + 4x + c))] = 1

lim x->∞ [(16x² + ax + d) - (16x² + 4x + c)] / (√(16x² + ax + d) + √(16x² + 4x + c)) = 1

lim x->∞ [16x² + ax + d - 16x² - 4x - c] / (√(16x² + ax + d) + √(16x² + 4x + c)) = 1

lim x->∞ [ax - 4x + d - c] / (√(16x² + ax + d) + √(16x² + 4x + c)) = 1

lim x->∞ [(a - 4)x + (d - c)] / (√(16x² + ax + d) + √(16x² + 4x + c)) = 1

Untuk limit ini agar bernilai 1 (bukan 0 atau tak hingga), derajat pembilang harus sama dengan derajat penyebut. Derajat penyebut setelah dibagi x dari dalam akar adalah x.
Agar pembilang memiliki derajat yang sama dengan penyebut dan menghasilkan nilai konstanta, koefisien x pada pembilang harus sama dengan hasil pembagian koefisien x pada penyebut.

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim x->∞ [(a - 4) + (d - c)/x] / (√(16 + a/x + d/x²) + √(b + 4/x + c/x²)) = 1

Karena x->∞, suku yang memiliki x di penyebut akan menjadi 0.
lim x->∞ [(a - 4) + 0] / (√(16 + 0 + 0) + √(b + 0 + 0)) = 1

lim x->∞ (a - 4) / (√16 + √b) = 1

Kita sudah menemukan bahwa b = 16:
(a - 4) / (√16 + √16) = 1
(a - 4) / (4 + 4) = 1
(a - 4) / 8 = 1
a - 4 = 8
a = 12

Jadi, kita mendapatkan nilai a = 12 dan b = 16.

Sekarang kita hitung a² - b²:
a² - b² = 12² - 16²
a² - b² = 144 - 256
a² - b² = -112

Jadi, nilai a² - b² adalah -112.