lim x-> tak hingga x(akar(9+5/x)-akar(9-4/x)) sama dengan

$rac{3}{2}$

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari $\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} - \sqrt{9 - \frac{4}{x}})$, kita bisa gunakan metode mengalikan dengan konjugatnya.

Misalkan $L = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} - \sqrt{9 - \frac{4}{x}})$.

Kalikan dengan konjugat dari $(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} - \sqrt{9 - \frac{4}{x}})$ yaitu $(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} + \sqrt{9 - \frac{4}{x}})$:

$L = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} - \sqrt{9 - \frac{4}{x}})(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} + \sqrt{9 - \frac{4}{x}})}{(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} + \sqrt{9 - \frac{4}{x}})}$

Menggunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ di pembilang:

$L = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{(9 + \frac{5}{x}) - (9 - \frac{4}{x})}{(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} + \sqrt{9 - \frac{4}{x}})}$

$L = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{9 + \frac{5}{x} - 9 + \frac{4}{x}}{(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} + \sqrt{9 - \frac{4}{x}})}$

$L = \lim_{x \to \infty} x \cdot rac{\frac{9}{x}}{(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} + \sqrt{9 - \frac{4}{x}})}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{9x}{x(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} + \sqrt{9 - \frac{4}{x}})}$

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{9}{(\sqrt{9 + \frac{5}{x}} + \sqrt{9 - \frac{4}{x}})}$

Sekarang, kita substitusikan $x = \infty$. Perhatikan bahwa $\frac{5}{x} \to 0$ dan $\frac{4}{x} \to 0$ saat $x \to \infty$.

$L = \frac{9}{(\sqrt{9 + 0} + \sqrt{9 - 0})}$

$L = \frac{9}{(\sqrt{9} + \sqrt{9})}$

$L = \frac{9}{(3 + 3)}$

$L = \frac{9}{6}$

$L = \frac{3}{2}$