limit x->0 (1 - cos (2x))/(2x sin (2x)) = . . .

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 ketika x mendekati 0. Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang (1 - cos(2x)) adalah -(-sin(2x) * 2) = 2 sin(2x).
Turunan penyebut (2x sin(2x)) menggunakan aturan perkalian: (2)(sin(2x)) + (2x)(cos(2x) * 2) = 2 sin(2x) + 4x cos(2x).
Jadi, limitnya menjadi: limit x->0 (2 sin(2x)) / (2 sin(2x) + 4x cos(2x)).
Sekarang substitusikan x = 0:
(2 sin(0)) / (2 sin(0) + 4(0) cos(0)) = (2 * 0) / (2 * 0 + 0) = 0/0.
Karena masih berbentuk 0/0, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.
Turunan pembilang (2 sin(2x)) adalah 2 cos(2x) * 2 = 4 cos(2x).
Turunan penyebut (2 sin(2x) + 4x cos(2x)) adalah 2 cos(2x) * 2 + (4 cos(2x) + 4x (-sin(2x) * 2)) = 4 cos(2x) + 4 cos(2x) - 8x sin(2x) = 8 cos(2x) - 8x sin(2x).
Jadi, limitnya menjadi: limit x->0 (4 cos(2x)) / (8 cos(2x) - 8x sin(2x)).
Substitusikan x = 0:
(4 cos(0)) / (8 cos(0) - 8(0) sin(0)) = (4 * 1) / (8 * 1 - 0) = 4 / 8 = 1/2.