limit x->0 (2cot6x)/(4csc3x)=....

1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{2\cot(6x)}{4\csc(3x)}$, kita dapat mengubah fungsi trigonometri ke dalam bentuk sinus dan kosinus:

$\cot(6x) = \frac{\cos(6x)}{\sin(6x)}$
$\csc(3x) = \frac{1}{\sin(3x)}$

Maka, limitnya menjadi:

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{\cos(6x)}{\sin(6x)}}{4 \frac{1}{\sin(3x)}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(6x) \sin(3x)}{4 \sin(6x)}$

Kita tahu bahwa $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$. Jadi, $\sin(6x) = 2\sin(3x)\cos(3x)$.

Substitusikan ini ke dalam limit:

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(6x) \sin(3x)}{4 (2\sin(3x)\cos(3x))} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(6x) \sin(3x)}{8 \sin(3x)\cos(3x)}$

Kita bisa membatalkan $\sin(3x)$ (karena $x \to 0$, $\sin(3x) \neq 0$):

$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(6x)}{8 \cos(3x)}$

Sekarang, substitusikan $x = 0$:

$\frac{2 \cos(0)}{8 \cos(0)} = \frac{2 \times 1}{8 	imes 1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{4}$.