limit x -> 0 (akar(1+tan x)-akar(1+sin x)/x^3=....

Nilai limit adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau ekspansi deret Taylor. Menggunakan ekspansi deret Taylor di sekitar x=0:
$\, \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
$\, \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\, \sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + ...$

Maka:
$\, \sqrt{1+\tan x} \approx 1 + \frac{1}{2}(x + \frac{x^3}{3}) - \frac{1}{8}(x)^2 + ... = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + ...$
$\, \sqrt{1+\sin x} \approx 1 + \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{8}(x)^2 + ... = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{8}x^2 + ...$

$\, \sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x} \approx (1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{6}x^3) - (1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3) + ...$
$\, = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{12}x^3 = \frac{3}{12}x^3 = \frac{1}{4}x^3$

Jadi, limitnya adalah:
$\, \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x^3}{x^3} = \frac{1}{4}$

Jawaban dari limit tersebut adalah 1/4.