limit x->0 akar((xtan x)/(sin^2(x)-cos 2x+1))= ...

√3 / 3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.
Limit yang diberikan adalah: 
lim (x->0) √((x tan x) / (sin^2(x) - cos(2x) + 1))

Kita tahu bahwa tan x = sin x / cos x. Substitusikan ini:
= lim (x->0) √((x * (sin x / cos x)) / (sin^2(x) - cos(2x) + 1))

Kita juga tahu identitas cos(2x) = 1 - 2sin^2(x). Substitusikan ini:
= lim (x->0) √((x sin x / cos x) / (sin^2(x) - (1 - 2sin^2(x)) + 1))
= lim (x->0) √((x sin x / cos x) / (sin^2(x) - 1 + 2sin^2(x) + 1))
= lim (x->0) √((x sin x / cos x) / (3sin^2(x)))

Untuk memudahkan, kita bisa memisahkan bagian akar:
= √[ lim (x->0) (x sin x / (cos x * 3sin^2(x))) ]
= √[ lim (x->0) (x / (3 cos x * sin x)) ]

Kita tahu bahwa lim (x->0) sin x / x = 1, atau bisa ditulis sebagai lim (x->0) x / sin x = 1.
Mari kita manipulasi ekspresi di dalam akar:
= √[ lim (x->0) (1 / (3 cos x)) * (x / sin x) ]

Sekarang kita bisa substitusikan nilai x = 0:
= √[ (1 / (3 cos 0)) * 1 ]
= √[ (1 / (3 * 1)) * 1 ]
= √[ 1/3 ]
= 1 / √3

Dapat juga ditulis dengan merasionalkan penyebut:
= (1 * √3) / (√3 * √3)
= √3 / 3