limit x -> 0 (sin 2x . tg^2 5x)/(tg^2 3x . sin 4x) = ...

25/18

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar karena substitusi langsung x=0 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit yang diberikan:
lim (x->0) [sin(2x) * tan^2(5x)] / [tan^2(3x) * sin(4x)]

Kita bisa memecahnya menjadi perkalian limit:
= lim (x->0) [sin(2x) / (4x)] * [tan^2(5x) / (5x)^2] * [(3x)^2 / tan^2(3x)] * [(5x)^2 / (3x)^2] * [(5x)^2 / (4x)] * [sin(2x) / sin(4x)]

Menggunakan sifat limit dasar:
lim (x->0) sin(ax)/ax = 1
lim (x->0) tan(bx)/bx = 1

Kita ubah ekspresi agar sesuai dengan sifat tersebut:
= lim (x->0) [sin(2x) / (2x)] * (2x) * [tan(5x) / (5x)]^2 * (5x)^2 / [(tan(3x) / (3x))^2 * (3x)^2 * sin(4x)]

= lim (x->0) [sin(2x) / (2x)] * (2x) * [tan(5x) / (5x)]^2 * (25x^2) / [(tan(3x) / (3x))^2 * (9x^2) * sin(4x)]

= lim (x->0) [1] * (2x) * [1]^2 * (25x^2) / ([1]^2 * (9x^2) * sin(4x))

= lim (x->0) (50x^3) / (9x^2 * sin(4x))

= lim (x->0) (50x) / (9 * sin(4x))

Sekarang, kita bisa memanipulasi lagi agar mendekati bentuk sin(ax)/ax:
= lim (x->0) (50x) / (9 * [sin(4x) / (4x)] * 4x)

= lim (x->0) (50x) / (9 * 1 * 4x)

= lim (x->0) (50x) / (36x)

= 50 / 36

= 25 / 18

Alternatif menggunakan aturan L'Hopital (lebih rumit):
Karena substitusi x=0 menghasilkan 0/0, kita bisa turunkan pembilang dan penyebutnya.
Pembilang: f(x) = sin(2x) * tan^2(5x)
f'(x) = 2cos(2x)tan^2(5x) + sin(2x) * 2tan(5x)sec^2(5x) * 5

Penyebut: g(x) = tan^2(3x) * sin(4x)
g'(x) = 2tan(3x)sec^2(3x) * 3 * sin(4x) + tan^2(3x) * 4cos(4x)

Menghitung f'(0) dan g'(0) akan sangat rumit. Metode manipulasi lebih disarankan.

Jadi, hasil limitnya adalah 25/18.