limit x->0 (sin 3x-sin 3x.cos 2x)/(tg^2 x.sin 2x.cos^3 4x)=

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit: lim (x->0) [sin(3x) - sin(3x)cos(2x)] / [tan^2(x)sin(2x)cos^3(4x)]

Faktorkan sin(3x) di pembilang:
lim (x->0) [sin(3x)(1 - cos(2x))] / [tan^2(x)sin(2x)cos^3(4x)]

Gunakan identitas trigonometri:
1 - cos(2x) = 2sin^2(x)

Substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (x->0) [sin(3x)(2sin^2(x))] / [tan^2(x)sin(2x)cos^3(4x)]

Ubah tan^2(x) menjadi sin^2(x)/cos^2(x):
lim (x->0) [sin(3x)(2sin^2(x))] / [(sin^2(x)/cos^2(x))sin(2x)cos^3(4x)]

Sederhanakan sin^2(x):
lim (x->0) [sin(3x) * 2 * cos^2(x)] / [sin(2x)cos^3(4x)]

Sekarang, kita dapat menggunakan pendekatan limit standar: lim (x->0) sin(ax)/ax = 1 dan lim (x->0) ax/sin(ax) = 1, serta lim (x->0) tan(ax)/ax = 1.
Kita juga bisa menggunakan L'Hopital, tapi penyederhanaan lebih cepat jika memungkinkan.

Kita punya:
sin(3x) ≈ 3x
sin(2x) ≈ 2x
cos(2x) ≈ 1 (untuk 1 - cos(2x) pendekatan awal)
cos^3(4x) ≈ 1^3 = 1
tan(x) ≈ x

Mari kita gunakan substitusi limit yang lebih tepat:
lim (x->0) sin(ax) = ax
lim (x->0) tan(bx) = bx
lim (x->0) sin(cx) = cx
lim (x->0) cos(dx) = 1

Substitusikan pendekatan limit ke ekspresi yang telah disederhanakan:
lim (x->0) [sin(3x) * 2 * cos^2(x)] / [sin(2x)cos^3(4x)]
= lim (x->0) [ (3x) * 2 * (1)^2 ] / [ (2x) * (1)^3 ]
= lim (x->0) [ 6x ] / [ 2x ]
= 6 / 2
= 3

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 3.