Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathKalkulus

limit x->0 (sin 3x-sin 3x.cos 2x)/(tg^2 x.sin 2x.cos^3 4x)=

Pertanyaan

Hitunglah nilai dari limit x->0 (sin 3x - sin 3x.cos 2x) / (tg^2 x.sin 2x.cos^3 4x) = ....

Solusi

Verified

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan. Limit: lim (x->0) [sin(3x) - sin(3x)cos(2x)] / [tan^2(x)sin(2x)cos^3(4x)] Faktorkan sin(3x) di pembilang: lim (x->0) [sin(3x)(1 - cos(2x))] / [tan^2(x)sin(2x)cos^3(4x)] Gunakan identitas trigonometri: 1 - cos(2x) = 2sin^2(x) Substitusikan kembali ke dalam limit: lim (x->0) [sin(3x)(2sin^2(x))] / [tan^2(x)sin(2x)cos^3(4x)] Ubah tan^2(x) menjadi sin^2(x)/cos^2(x): lim (x->0) [sin(3x)(2sin^2(x))] / [(sin^2(x)/cos^2(x))sin(2x)cos^3(4x)] Sederhanakan sin^2(x): lim (x->0) [sin(3x) * 2 * cos^2(x)] / [sin(2x)cos^3(4x)] Sekarang, kita dapat menggunakan pendekatan limit standar: lim (x->0) sin(ax)/ax = 1 dan lim (x->0) ax/sin(ax) = 1, serta lim (x->0) tan(ax)/ax = 1. Kita juga bisa menggunakan L'Hopital, tapi penyederhanaan lebih cepat jika memungkinkan. Kita punya: sin(3x) ≈ 3x sin(2x) ≈ 2x cos(2x) ≈ 1 (untuk 1 - cos(2x) pendekatan awal) cos^3(4x) ≈ 1^3 = 1 tan(x) ≈ x Mari kita gunakan substitusi limit yang lebih tepat: lim (x->0) sin(ax) = ax lim (x->0) tan(bx) = bx lim (x->0) sin(cx) = cx lim (x->0) cos(dx) = 1 Substitusikan pendekatan limit ke ekspresi yang telah disederhanakan: lim (x->0) [sin(3x) * 2 * cos^2(x)] / [sin(2x)cos^3(4x)] = lim (x->0) [ (3x) * 2 * (1)^2 ] / [ (2x) * (1)^3 ] = lim (x->0) [ 6x ] / [ 2x ] = 6 / 2 = 3 Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 3.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi Trigonometri
Section: Limit Fungsi Trigonometri Dengan Pendekatan

Apakah jawaban ini membantu?