Selesaikan persamaan: 3x^3-4x^2-5x+2=0, lalu tentukan semua

Akar persamaan polinomial adalah 2, 1/3, -1. Nilai tetha yang memenuhi persamaan trigonometri adalah sekitar 70.53, 180, dan 289.47 derajat.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menyelesaikan persamaan polinomial dan persamaan trigonometri.

Bagian 1: Menyelesaikan persamaan polinomial 3x^3 - 4x^2 - 5x + 2 = 0
Kita dapat mencoba mencari akar rasional menggunakan Teorema Akar Rasional. Faktor dari konstanta (2) adalah ±1, ±2. Faktor dari koefisien utama (3) adalah ±1, ±3. Akar rasional yang mungkin adalah ±1, ±2, ±1/3, ±2/3.

Mari kita coba x = 2:
3(2)^3 - 4(2)^2 - 5(2) + 2 = 3(8) - 4(4) - 10 + 2 = 24 - 16 - 10 + 2 = 0.
Jadi, x = 2 adalah salah satu akar.

Sekarang kita bagi polinomial dengan (x - 2) menggunakan pembagian sintetik atau pembagian polinomial:

(3x^3 - 4x^2 - 5x + 2) / (x - 2) = 3x^2 + 2x - 1

Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat 3x^2 + 2x - 1 = 0.
Kita bisa memfaktorkannya:
(3x - 1)(x + 1) = 0

Ini memberikan kita akar-akar:
3x - 1 = 0 => x = 1/3
x + 1 = 0 => x = -1

Jadi, akar-akar dari persamaan 3x^3 - 4x^2 - 5x + 2 = 0 adalah x = 2, x = 1/3, dan x = -1.

Bagian 2: Menyelesaikan persamaan trigonometri 3cos^3(theta) - 5cos(theta) + 2 = 4cos^2(theta) untuk 0 <= theta <= 360 derajat.

Pertama, susun ulang persamaan menjadi bentuk standar:
3cos^3(theta) - 4cos^2(theta) - 5cos(theta) + 2 = 0

Misalkan y = cos(theta). Persamaan menjadi:
3y^3 - 4y^2 - 5y + 2 = 0

Ini adalah persamaan polinomial yang sama dengan bagian pertama, dengan y menggantikan x. Jadi, nilai y yang memenuhi adalah:
y = 2, y = 1/3, y = -1.

Sekarang kita kembalikan ke cos(theta):

1. cos(theta) = 2
Tidak ada nilai theta yang memenuhi persamaan ini karena nilai cosinus berkisar antara -1 dan 1.

2. cos(theta) = 1/3
Dalam rentang 0 <= theta <= 360 derajat, ada dua sudut yang memiliki cosinus 1/3. Menggunakan kalkulator:
theta = arccos(1/3) ≈ 70.53 derajat.
Karena cosinus positif di kuadran I dan IV, sudut lainnya adalah:
theta = 360 - 70.53 ≈ 289.47 derajat.

3. cos(theta) = -1
Dalam rentang 0 <= theta <= 360 derajat, nilai theta yang memiliki cosinus -1 adalah:
theta = 180 derajat.

Jadi, nilai-nilai theta yang memenuhi persamaan trigonometri adalah sekitar 70.53 derajat, 180 derajat, dan 289.47 derajat.