limit x mendekati tak hingga (ax+b-akar(4x^2-6x+5))=3,

2

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari nilai 'a' dari persamaan limit: limit x mendekati tak hingga (ax+b - akar(4x^2-6x+5))=3. Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menyingkirkan bentuk tak tentu ∞ - ∞. Kita kalikan dengan bentuk sekawan: limit x→∞ [(ax+b) - sqrt(4x^2-6x+5)] * [(ax+b) + sqrt(4x^2-6x+5)] / [(ax+b) + sqrt(4x^2-6x+5)] = 3. Ini sama dengan limit x→∞ [(ax+b)² - (4x^2-6x+5)] / [(ax+b) + sqrt(4x^2-6x+5)] = 3. Jabarkan bagian atas: (a²x² + 2abx + b²) - (4x^2-6x+5) = (a²-4)x² + (2ab+6)x + (b²-5). Agar limit ini berhingga (yaitu sama dengan 3), koefisien dari x² di pembilang harus nol. Jadi, a² - 4 = 0, yang berarti a² = 4. Maka, a = 2 atau a = -2. Sekarang kita lihat pembilang setelah a²-4=0: (2ab+6)x + (b²-5). Penyebutnya adalah ax+b + sqrt(4x^2-6x+5). Agar limitnya berhingga, derajat polinomial di pembilang dan penyebut harus sama. Penyebut memiliki suku dengan x dan sqrt(x²)=|x|. Karena x mendekati tak hingga, |x|=x. Jadi penyebutnya menjadi ax+b + sqrt(x²(4 - 6/x + 5/x²)) = ax+b + x*sqrt(4 - 6/x + 5/x²). Untuk x→∞, sqrt(4 - 6/x + 5/x²) → sqrt(4) = 2. Jadi penyebutnya mendekati ax+b + 2x = (a+2)x + b. Agar limit berhingga, koefisien x di pembilang juga harus nol jika derajat penyebut lebih tinggi. Jika a=2, pembilangnya menjadi (2*2*b+6)x + (b²-5) = (4b+6)x + (b²-5). Penyebutnya menjadi (2+2)x + b = 4x + b. Limitnya adalah (4b+6) / 4 = 3. Maka 4b+6 = 12, 4b = 6, b = 6/4 = 3/2. Jika a=-2, pembilangnya menjadi (2*(-2)*b+6)x + (b²-5) = (-4b+6)x + (b²-5). Penyebutnya menjadi (-2+2)x + b = b. Limitnya adalah (-4b+6) / b = 3. Maka -4b+6 = 3b, 6 = 7b, b = 6/7. Namun, ada syarat bahwa koefisien suku x di pembilang harus nol agar limitnya berhingga jika penyebutnya ada suku x. Mari kita tinjau kembali. Koefisien x² di pembilang harus nol, sehingga a²-4=0, a=±2. Jika a=2, pembilang menjadi (4b+6)x + (b²-5). Penyebut menjadi (2+2)x + b = 4x + b. Limitnya adalah (4b+6)/4 = 3. 4b+6 = 12, 4b = 6, b=3/2. Jika a=-2, pembilang menjadi (-4b+6)x + (b²-5). Penyebut menjadi (-2+2)x + b = b. Agar limitnya berhingga, koefisien x di pembilang harus nol, sehingga -4b+6=0, b=6/4=3/2. Maka limitnya adalah (b²-5)/b = ((3/2)²-5)/(3/2) = (9/4-20/4)/(3/2) = (-11/4)/(3/2) = -11/4 * 2/3 = -11/6. Ini tidak sama dengan 3. Jadi, kita harus memilih a=2. Periksa kembali perhitungan: limit x→∞ (ax+b - sqrt(4x^2-6x+5)) = 3. Agar limit berhingga, koefisien x² pada (ax+b)² - (4x^2-6x+5) harus nol. (a²x² + 2abx + b²) - (4x^2-6x+5) = (a²-4)x² + (2ab+6)x + (b²-5). Maka a²-4=0, a=±2. Jika a=2, limitnya menjadi limit x→∞ [(4b+6)x + (b²-5)] / [2x+b + x*sqrt(4-6/x+5/x²)]. Limit x→∞ [(4b+6)x + (b²-5)] / [x(2 + sqrt(4-6/x+5/x²)) + b]. Untuk x→∞, limitnya adalah (4b+6) / (2 + sqrt(4)) = (4b+6) / (2+2) = (4b+6)/4. Kita tahu limitnya adalah 3. Maka (4b+6)/4 = 3 => 4b+6 = 12 => 4b = 6 => b = 3/2. Jadi a=2 memenuhi syarat agar limitnya berhingga dan sama dengan 3. Jika a=-2, limitnya menjadi limit x→∞ [(-4b+6)x + (b²-5)] / [-2x+b + x*sqrt(4-6/x+5/x²)]. Limit x→∞ [(-4b+6)x + (b²-5)] / [x(-2 + sqrt(4-6/x+5/x²)) + b]. Untuk x→∞, limitnya adalah (-4b+6) / (-2 + sqrt(4)) = (-4b+6) / (-2+2) = (-4b+6)/0. Agar limit berhingga, pembilang harus nol, sehingga -4b+6 = 0, b=3/2. Maka limitnya menjadi 0/0, yang memerlukan L'Hopital's rule atau penyederhanaan lebih lanjut. Namun, jika kita kembali ke bentuk pembilang: (a²-4)x² + (2ab+6)x + (b²-5). Penyebut: (a+2)x + b. Jika a=-2, pembilang menjadi 0*x² + (-4b+6)x + (b²-5). Penyebut menjadi (-2+2)x + b = b. Limitnya adalah ((-4b+6)x + (b²-5))/b. Agar limit ini berhingga, koefisien x di pembilang harus nol, yaitu -4b+6=0, sehingga b=3/2. Maka limitnya adalah (b²-5)/b = ((3/2)²-5)/(3/2) = (9/4-20/4)/(3/2) = (-11/4)/(3/2) = -11/6. Ini tidak sama dengan 3. Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a=2.