limit x->-pi/2 (x+pi/2)(1-sin x)/tan 2x=...

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\\lim_{x \to -\pi/2} (x+\\frac{\\pi}{2}) \\frac{1-sin x}{tan 2x}$, kita dapat menggunakan substitusi $y = x + \\frac{\\pi}{2}$. Ketika $x \to -\\frac{\\pi}{2}$, maka $y \to 0$. Juga, $x = y - \\frac{\\pi}{2}$.

Persamaan limit menjadi:
$\\lim_{y \to 0} y \\frac{1-sin(y - \\frac{\\pi}{2})}{tan(2(y - \\frac{\\pi}{2}))}$

Kita tahu bahwa $sin(y - \\frac{\\pi}{2}) = -cos(y)$ dan $tan(2y - \\pi) = tan(2y)$.

Sehingga, limitnya menjadi:
$\\lim_{y \to 0} y \\frac{1-(-cos y)}{tan(2y)}$
$\\lim_{y \to 0} y \\frac{1+cos y}{tan(2y)}$

Menggunakan identitas trigonometri $tan(2y) = \\frac{2 tan y}{1 - tan^2 y}$ atau $tan(2y) = \\frac{sin(2y)}{cos(2y)}$:
$\\lim_{y \to 0} y \\frac{1+cos y}{\\frac{sin(2y)}{cos(2y)}}$
$\\lim_{y \to 0} y \\frac{(1+cos y)cos(2y)}{sin(2y)}$

Kita bisa pisahkan limitnya:
$\\lim_{y \to 0} (1+cos y) \\cdot \\lim_{y \to 0} cos(2y) \\cdot \\lim_{y \to 0} \\frac{y}{sin(2y)}$

Kita tahu $\\lim_{y \to 0} \\frac{y}{sin(2y)} = \\lim_{y \to 0} \\frac{1}{\\frac{sin(2y)}{y}} = \\lim_{y \to 0} \\frac{1}{2 \\frac{sin(2y)}{2y}} = \\frac{1}{2 \\cdot 1} = \\frac{1}{2}$.

Substitusikan nilai-nilai limit:
$(1+cos 0) \\cdot cos(0) \\cdot \\frac{1}{2}$
$(1+1) \\cdot 1 \\cdot \\frac{1}{2}$
$2 \\cdot 1 \\cdot \\frac{1}{2} = 1$

Jadi, hasil limitnya adalah 1.