limit x->pi (x-pi)/(2(x-pi)+(x-pi)tan(x-pi))= ....

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika limit x->c f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan limit x->c f'(x)/g'(x). 
Turunan dari pembilang (x - π) adalah 1. 
Untuk penyebut, kita perlu menurunkan 2(x - π) + (x - π)tan(x - π). 
Turunan dari 2(x - π) adalah 2. 
Untuk menurunkan (x - π)tan(x - π), kita gunakan aturan perkalian: u = x - π, v = tan(x - π). Maka u' = 1 dan v' = sec^2(x - π). 
Turunan dari (x - π)tan(x - π) adalah u'v + uv' = 1 * tan(x - π) + (x - π) * sec^2(x - π) = tan(x - π) + (x - π)sec^2(x - π). 
Jadi, turunan penyebut adalah 2 + tan(x - π) + (x - π)sec^2(x - π). 
Sekarang kita terapkan limit pada turunan pembilang dan penyebut: limit x->π [1] / [2 + tan(x - π) + (x - π)sec^2(x - π)]. 
Saat x mendekati π, tan(x - π) mendekati tan(0) = 0. 
Dan (x - π)sec^2(x - π) mendekati 0 * sec^2(0) = 0 * 1^2 = 0. 
Maka limitnya menjadi 1 / (2 + 0 + 0) = 1/2. 
Jadi, limit x->pi (x-pi)/(2(x-pi)+(x-pi)tan(x-pi)) = 1/2.