limit x->-y (tan x+tan y)/(((x^2-y^2)/-2y^2)(1-tan xtan y)

y

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x→-y (tan x + tan y) / (((x^2 - y^2) / -2y^2)(1 - tan x tan y)), kita dapat menggunakan substitusi dan identitas trigonometri.

Misalkan x = -y + h, di mana h → 0 ketika x → -y.

Maka, tan x = tan(-y + h) = (tan(-y) + tan(h)) / (1 - tan(-y)tan(h)) = (-tan y + tan h) / (1 + tan y tan h).

Ketika h → 0, tan h → 0, sehingga tan x → -tan y.

Substitusikan ke dalam ekspresi:
Limit ketika x→-y dari (tan x + tan y) adalah -tan y + tan y = 0.

Bagian penyebut:
((x^2 - y^2) / -2y^2)(1 - tan x tan y)
Ketika x→-y, x^2 → (-y)^2 = y^2. Maka (x^2 - y^2) → 0.
Juga, ketika x→-y, tan x tan y → (-tan y)(tan y) = -tan^2 y.
Maka (1 - tan x tan y) → 1 - (-tan^2 y) = 1 + tan^2 y = sec^2 y.

Jadi, penyebutnya menjadi (0 / -2y^2) * sec^2 y = 0.

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar lebih lanjut.

Mari kita coba manipulasi aljabar dengan menganggap x mendekati -y.

Misalkan tan x = u dan tan y = v.
Kita punya limit u→-v (u+v) / (((x^2-y^2)/-2y^2)(1-uv)).

Kita tahu bahwa tan(x+y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y).
Jadi, (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y) = tan(x+y).

Ekspresi menjadi: tan(x+y) / ((x^2-y^2)/-2y^2)

Kita tahu bahwa x^2 - y^2 = (x-y)(x+y).

Jadi, ekspresi menjadi: tan(x+y) / (((x-y)(x+y)) / -2y^2)
= (tan(x+y) * -2y^2) / ((x-y)(x+y))
= (-2y^2 / (x-y)) * (tan(x+y) / (x+y))

Ketika x → -y, x-y → -y-y = -2y.
Dan kita tahu bahwa limit θ→0 (tan θ / θ) = 1.
Di sini, θ = x+y, dan ketika x → -y, θ → 0.

Maka, limitnya adalah (-2y^2 / -2y) * 1 = y.

Namun, perlu diperhatikan bahwa ada pembagian dengan y^2 di penyebut awal, yang menyiratkan y ≠ 0. Juga, tan x dan tan y harus terdefinisi.