Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
limit x->-y (tan x+tan y)/(((x^2-y^2)/-2y^2)(1-tan xtan y)
Pertanyaan
limit x->-y (tan x+tan y)/(((x^2-y^2)/-2y^2)(1-tan xtan y) = ...
Solusi
Verified
y
Pembahasan
Untuk menyelesaikan limit x→-y (tan x + tan y) / (((x^2 - y^2) / -2y^2)(1 - tan x tan y)), kita dapat menggunakan substitusi dan identitas trigonometri. Misalkan x = -y + h, di mana h → 0 ketika x → -y. Maka, tan x = tan(-y + h) = (tan(-y) + tan(h)) / (1 - tan(-y)tan(h)) = (-tan y + tan h) / (1 + tan y tan h). Ketika h → 0, tan h → 0, sehingga tan x → -tan y. Substitusikan ke dalam ekspresi: Limit ketika x→-y dari (tan x + tan y) adalah -tan y + tan y = 0. Bagian penyebut: ((x^2 - y^2) / -2y^2)(1 - tan x tan y) Ketika x→-y, x^2 → (-y)^2 = y^2. Maka (x^2 - y^2) → 0. Juga, ketika x→-y, tan x tan y → (-tan y)(tan y) = -tan^2 y. Maka (1 - tan x tan y) → 1 - (-tan^2 y) = 1 + tan^2 y = sec^2 y. Jadi, penyebutnya menjadi (0 / -2y^2) * sec^2 y = 0. Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar lebih lanjut. Mari kita coba manipulasi aljabar dengan menganggap x mendekati -y. Misalkan tan x = u dan tan y = v. Kita punya limit u→-v (u+v) / (((x^2-y^2)/-2y^2)(1-uv)). Kita tahu bahwa tan(x+y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y). Jadi, (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y) = tan(x+y). Ekspresi menjadi: tan(x+y) / ((x^2-y^2)/-2y^2) Kita tahu bahwa x^2 - y^2 = (x-y)(x+y). Jadi, ekspresi menjadi: tan(x+y) / (((x-y)(x+y)) / -2y^2) = (tan(x+y) * -2y^2) / ((x-y)(x+y)) = (-2y^2 / (x-y)) * (tan(x+y) / (x+y)) Ketika x → -y, x-y → -y-y = -2y. Dan kita tahu bahwa limit θ→0 (tan θ / θ) = 1. Di sini, θ = x+y, dan ketika x → -y, θ → 0. Maka, limitnya adalah (-2y^2 / -2y) * 1 = y. Namun, perlu diperhatikan bahwa ada pembagian dengan y^2 di penyebut awal, yang menyiratkan y ≠ 0. Juga, tan x dan tan y harus terdefinisi.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?