Lingkaran A dan B memiliki pusat yang sama, yaitu di O.

Luas lingkaran yang berpusat di C dan bersinggungan dengan lingkaran A adalah 49π cm² atau 441π cm².

Pembahasan

Lingkaran A dan B memiliki pusat yang sama di O. Jari-jari lingkaran B (R_B) adalah dua kali jari-jari lingkaran A (R_A), sehingga R_B = 2 * R_A.
Diketahui jari-jari lingkaran B adalah 14 cm, maka R_B = 14 cm.
Karena R_B = 2 * R_A, maka 14 cm = 2 * R_A, sehingga R_A = 14 cm / 2 = 7 cm.
Titik C terletak pada lingkaran B. Lingkaran yang ditanyakan berpusat di C dan bersinggungan dengan lingkaran A.
Karena kedua lingkaran memiliki pusat yang sama di O, dan lingkaran A memiliki jari-jari 7 cm, maka agar lingkaran yang berpusat di C bersinggungan dengan lingkaran A, jarak dari C ke titik singgung pada lingkaran A adalah jari-jari lingkaran A, yaitu 7 cm.
Karena C terletak pada lingkaran B yang berjari-jari 14 cm, maka jarak OC = 14 cm.
Ada dua kemungkinan posisi C sehingga lingkaran yang berpusat di C bersinggungan dengan lingkaran A:
1. Lingkaran C bersinggungan luar dengan lingkaran A: Jarak antara pusat C dan titik singgung pada lingkaran A adalah R_A. Jika C terletak pada garis yang sama dengan O dan titik singgung pada lingkaran A, maka jarak CO = R_A + jari-jari lingkaran C.
2. Lingkaran C bersinggungan dalam dengan lingkaran A: Jarak antara pusat C dan titik singgung pada lingkaran A adalah R_A. Jika C terletak pada garis yang sama dengan O dan titik singgung pada lingkaran A, maka jarak CO = |R_A - jari-jari lingkaran C|.
Namun, informasi yang diberikan adalah lingkaran yang berpusat di C bersinggungan dengan lingkaran A. Diketahui bahwa lingkaran B memiliki jari-jari 14 cm dan C terletak pada lingkaran B. Lingkaran A memiliki jari-jari 7 cm dan pusatnya sama dengan lingkaran B (di O).
Jika lingkaran yang berpusat di C bersinggungan dengan lingkaran A, maka jarak antara pusat O dan C (yaitu 14 cm) dan jari-jari lingkaran A (7 cm) serta jari-jari lingkaran C (r_C) harus memenuhi salah satu kondisi berikut:
1. Lingkaran C bersinggungan luar dengan lingkaran A: Jarak OC = R_A + r_C => 14 cm = 7 cm + r_C => r_C = 7 cm.
2. Lingkaran C bersinggungan dalam dengan lingkaran A: Jarak OC = |R_A - r_C| => 14 cm = |7 cm - r_C|.
   a. 14 = 7 - r_C => r_C = 7 - 14 = -7 cm (tidak mungkin)
   b. 14 = -(7 - r_C) => 14 = -7 + r_C => r_C = 21 cm.
Jadi, jari-jari lingkaran yang berpusat di C adalah 7 cm atau 21 cm.
Luas lingkaran yang berpusat di C adalah π * (r_C)^2.
Jika r_C = 7 cm, luas = π * (7 cm)^2 = 49π cm^2.
Jika r_C = 21 cm, luas = π * (21 cm)^2 = 441π cm^2.
Karena C terletak pada lingkaran B yang berjari-jari 14 cm, jarak OC = 14 cm. Lingkaran A berjari-jari 7 cm dan berpusat di O. Lingkaran yang berpusat di C bersinggungan dengan lingkaran A. Maka jarak dari C ke titik singgung pada lingkaran A adalah jari-jari lingkaran A, yaitu 7 cm. Agar lingkaran C bersinggungan dengan lingkaran A, maka:
- Jika bersinggungan luar: Jarak antara pusat C dan O adalah R_A + r_C. 14 = 7 + r_C => r_C = 7 cm. Luas = π * 7^2 = 49π cm^2.
- Jika bersinggungan dalam: Jarak antara pusat C dan O adalah |R_A - r_C|. 14 = |7 - r_C|. Ini berarti 14 = 7 - r_C (r_C = -7, tidak mungkin) atau 14 = -(7 - r_C) => 14 = -7 + r_C => r_C = 21 cm. Luas = π * 21^2 = 441π cm^2.
Karena C berada pada lingkaran B yang berpusat di O dengan jari-jari 14 cm, maka jarak OC = 14 cm. Lingkaran A berpusat di O dengan jari-jari R_A = 7 cm. Lingkaran yang berpusat di C bersinggungan dengan lingkaran A. Maka jari-jari lingkaran C (r_C) dapat dihitung dengan menggunakan jarak antara pusat O dan C.
Kasus 1: Lingkaran C bersinggungan luar dengan lingkaran A. Maka jarak OC = R_A + r_C. 14 cm = 7 cm + r_C. Jadi, r_C = 7 cm. Luas lingkaran C = π * (r_C)^2 = π * (7 cm)^2 = 49π cm^2.
Kasus 2: Lingkaran C bersinggungan dalam dengan lingkaran A. Maka jarak OC = |R_A - r_C|. 14 cm = |7 cm - r_C|. Kemungkinan 1: 14 cm = 7 cm - r_C, maka r_C = 7 cm - 14 cm = -7 cm (tidak mungkin karena jari-jari tidak boleh negatif). Kemungkinan 2: 14 cm = -(7 cm - r_C) = -7 cm + r_C, maka r_C = 14 cm + 7 cm = 21 cm. Luas lingkaran C = π * (r_C)^2 = π * (21 cm)^2 = 441π cm^2.
Jadi, ada dua kemungkinan luas lingkaran yang berpusat di C dan bersinggungan dengan lingkaran A, yaitu 49π cm^2 atau 441π cm^2.