Lingkaran L menyinggung sumbu- X , menyinggung lingkaran

Persamaan L adalah x^2+y^2-8x-6y+16=0

Pembahasan

Lingkaran L menyinggung sumbu-X, menyinggung lingkaran x^2+y^2=4 (yang berpusat di (0,0) dengan jari-jari 2), dan melalui titik B(4,6). Misalkan persamaan lingkaran L adalah (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2. Karena menyinggung sumbu-X, maka |k| = r. Jika k positif, k=r. Jika k negatif, k=-r. Karena lingkaran melalui B(4,6) yang berada di kuadran I, dan menyinggung lingkaran pusat (0,0) dengan jari-jari 2, kemungkinan besar lingkaran L juga berada di kuadran atas, sehingga k positif, jadi k=r. Persamaan menjadi (x-h)^2 + (y-r)^2 = r^2. Lingkaran L melalui B(4,6): (4-h)^2 + (6-r)^2 = r^2. Menyinggung lingkaran x^2+y^2=4. Jarak antara pusat (h,k) dan (0,0) adalah |h-0| = |h| atau |k-0| = |k|. Kita tahu k=r. Jadi jaraknya adalah sqrt(h^2 + k^2) = sqrt(h^2 + r^2). Kondisi menyinggung: |r1 - r2| = jarak pusat atau r1 + r2 = jarak pusat. Karena lingkaran L melalui (4,6) dan menyinggung lingkaran x^2+y^2=4, maka kedua lingkaran ini bisa bersinggungan luar atau dalam. Jari-jari lingkaran x^2+y^2=4 adalah r2=2. Maka, |r - 2| = sqrt(h^2 + r^2) atau r + 2 = sqrt(h^2 + r^2). Mari kita coba opsi yang diberikan: Opsi A: (x-4)^2+(y+6)^2=144. Pusat (4,-6), r=12. Menyinggung sumbu-X karena |-6|=6 != 12. Salah. Opsi C: x^2+y^2-8x-6y+16=0. (x-4)^2+(y-3)^2 = 16+9-16 = 9. Pusat (4,3), r=3. Menyinggung sumbu-X karena |3|=3. Menyinggung x^2+y^2=4? Jarak pusat (4,3) ke (0,0) adalah sqrt(4^2+3^2)=5. r1+r2 = 3+2=5. Jadi bersinggungan luar. Cek titik B(4,6): (4-4)^2+(6-3)^2 = 0^2+3^2 = 9. Cocok. Jadi Opsi C benar.