Luas daerah yang dibatasi kurva y=-x^2+2x dan sumbu X pada

8/3 satuan luas

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi kurva y = -x^2 + 2x dan sumbu X pada interval 0 <= x <= 3, kita perlu melakukan integral tentu dari fungsi tersebut pada interval yang diberikan.

Pertama, kita tentukan titik potong kurva dengan sumbu X (y=0):
-x^2 + 2x = 0
x(-x + 2) = 0
x = 0 atau x = 2.

Karena interval yang diberikan adalah 0 <= x <= 3, dan kurva memotong sumbu X di x=0 dan x=2, maka kita perlu membagi integral menjadi dua bagian: dari 0 sampai 2, dan dari 2 sampai 3. Perhatikan bahwa pada interval 2 < x < 3, nilai y akan negatif, sehingga luasnya dihitung sebagai integral dari -y.

Luas = Integral dari 0 sampai 2 (-x^2 + 2x) dx + Integral dari 2 sampai 3 -(-x^2 + 2x) dx
Luas = Integral dari 0 sampai 2 (-x^2 + 2x) dx + Integral dari 2 sampai 3 (x^2 - 2x) dx

Hitung integral pertama:
[ -x^3/3 + x^2 ] dari 0 sampai 2
= (-2^3/3 + 2^2) - (-0^3/3 + 0^2)
= (-8/3 + 4) - 0
= -8/3 + 12/3
= 4/3

Hitung integral kedua:
[ x^3/3 - x^2 ] dari 2 sampai 3
= (3^3/3 - 3^2) - (2^3/3 - 2^2)
= (27/3 - 9) - (8/3 - 4)
= (9 - 9) - (8/3 - 12/3)
= 0 - (-4/3)
= 4/3

Total Luas = Luas 1 + Luas 2 = 4/3 + 4/3 = 8/3 satuan luas.