Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2-4 dan y=-3|x|

13/3

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2-4 dan y=-3|x|, kita perlu mencari titik potong kedua kurva tersebut dan kemudian mengintegrasikan selisih kedua fungsi di antara titik potong tersebut.

Karena adanya nilai absolut |x|, kita perlu mempertimbangkan dua kasus untuk y = -3|x|:
Kasus 1: x ≥ 0, maka |x| = x, sehingga y = -3x
Kasus 2: x < 0, maka |x| = -x, sehingga y = -3(-x) = 3x

Sekarang kita cari titik potong antara y = x^2 - 4 dan y = -3|x|.

Untuk x ≥ 0 (y = -3x):
x^2 - 4 = -3x
x^2 + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0
Jadi, x = -4 atau x = 1. Karena kita di kasus x ≥ 0, maka titik potongnya adalah x = 1.

Untuk x < 0 (y = 3x):
x^2 - 4 = 3x
x^2 - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
Jadi, x = 4 atau x = -1. Karena kita di kasus x < 0, maka titik potongnya adalah x = -1.

Titik potongnya adalah di x = -1 dan x = 1.

Karena simetri terhadap sumbu y (karena kedua fungsi adalah fungsi genap), kita bisa menghitung luas dari 0 sampai 1 lalu mengalikannya dengan 2.
Di interval [0, 1], kurva y = -3x berada di atas kurva y = x^2 - 4.

Luas = 2 * integral dari 0 sampai 1 dari (-3x - (x^2 - 4)) dx
Luas = 2 * integral dari 0 sampai 1 dari (-x^2 - 3x + 4) dx

Integralkan fungsi:
Integral dari (-x^2 - 3x + 4) dx = -x^3/3 - 3x^2/2 + 4x

Evaluasi integral dari 0 sampai 1:
[(-1^3/3 - 3(1)^2/2 + 4(1))] - [(-0^3/3 - 3(0)^2/2 + 4(0))]
= (-1/3 - 3/2 + 4) - (0)
= -2/6 - 9/6 + 24/6
= 13/6

Luas = 2 * (13/6)
Luas = 13/3

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2-4 dan y=-3|x| adalah 13/3 satuan luas.