Luas daerah yang dibatasi parabola y=x^2-x-2 dengan garis

9 satuan luas

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh parabola $y=x^2-x-2$ dan garis $y=x+1$ pada interval $0 \le x \le 3$, pertama kita cari titik potong kedua kurva dengan menyamakan persamaan: $x^2-x-2 = x+1$, yang menghasilkan $x^2-2x-3 = 0$. Faktorkan menjadi $(x-3)(x+1)=0$, sehingga titik potongnya adalah $x=-1$ dan $x=3$. Karena interval yang diberikan adalah $0 \le x \le 3$, kita akan mengintegrasikan selisih kedua fungsi dari 0 hingga 3. Periksa fungsi mana yang lebih besar pada interval ini. Ambil $x=1$: $y_{parabola} = 1^2-1-2 = -2$ dan $y_{garis} = 1+1=2$. Jadi, garis berada di atas parabola. Luasnya adalah $\\int_{0}^{3} ((x+1) - (x^2-x-2)) dx = \\int_{0}^{3} (-x^2+2x+3) dx$. Hasil integralnya adalah $[-\\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x]_{0}^{3} = (-\\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3)) - (0) = (-\\frac{1}{3}(27) + 9 + 9) = -9 + 9 + 9 = 9$.