Luas irisan dua lingkaran (x-1)^2+(y-1)^2=4 dan

8 arccos(1/4) - √15 / 2 cm^2

Pembahasan

Untuk mencari luas irisan dua lingkaran, kita perlu menentukan titik potong kedua lingkaran tersebut terlebih dahulu. Lingkaran pertama berpusat di (1,1) dengan jari-jari 2. Lingkaran kedua berpusat di (0,1) dengan jari-jari 2.
Titik potong dapat ditemukan dengan mengurangkan kedua persamaan: 
(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4
x^2 + (y-1)^2 = 4

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(x-1)^2 - x^2 = 0
x^2 - 2x + 1 - x^2 = 0
-2x + 1 = 0
x = 1/2

Substitusikan x = 1/2 ke salah satu persamaan untuk mencari y:
(1/2)^2 + (y-1)^2 = 4
1/4 + (y-1)^2 = 4
(y-1)^2 = 4 - 1/4
(y-1)^2 = 15/4
y - 1 = ±√(15)/2
y = 1 ± √(15)/2

Titik potongnya adalah (1/2, 1 + √(15)/2) dan (1/2, 1 - √(15)/2).

Luas irisan dapat dihitung menggunakan integral atau dengan rumus luas juring dikurangi luas segitiga. 
Karena kedua lingkaran memiliki jari-jari yang sama (r=2) dan pusatnya berjarak 1, irisan kedua lingkaran tersebut membentuk dua segmen lingkaran yang identik.

Mari kita hitung luas salah satu segmen. Kita gunakan lingkaran kedua (pusat di (0,1)) dan garis x = 1/2.
Sudut yang dibentuk oleh titik potong dan pusat lingkaran dapat dihitung. Jarak dari pusat (0,1) ke garis x=1/2 adalah 1/2.
Misalkan sudut yang dibentuk adalah θ. Maka cos(θ/2) = (jarak pusat ke garis)/jari-jari = (1/2)/2 = 1/4.

Luas sektor = (1/2) * r^2 * α, di mana α adalah sudut dalam radian. 
α = 2 * arccos(1/4)
Luas sektor = (1/2) * 2^2 * (2 * arccos(1/4)) = 4 * arccos(1/4)

Luas segitiga = (1/2) * alas * tinggi. Alasnya adalah jarak antara dua titik potong y, yaitu 2 * √(15)/2 = √(15). Tingginya adalah jarak dari pusat ke garis x=1/2, yaitu 1/2. Namun, ini bukan segitiga yang tepat.

Cara yang lebih mudah adalah menghitung luas segmen lingkaran. Luas segmen = Luas sektor - Luas segitiga.
Luas segitiga yang dibentuk oleh pusat dan dua titik potong memiliki alas √(15) dan tinggi 1/2 (jarak dari pusat ke tali busur). Namun, ini bukan tinggi yang benar untuk luas segitiga yang dibentuk oleh jari-jari.

Luas segitiga yang dibentuk oleh pusat (0,1) dan titik potong (1/2, 1±√(15)/2) adalah (1/2) * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|.
Namun, cara yang lebih sederhana adalah menggunakan (1/2) * r^2 * sin(α).

Kita tahu cos(θ/2) = 1/4. Maka sin(θ/2) = √(1 - (1/4)^2) = √(1 - 1/16) = √(15/16) = √15 / 4.
sin(α) = sin(2 * θ/2) = 2 * sin(θ/2) * cos(θ/2) = 2 * (√15 / 4) * (1/4) = √15 / 8.

Luas segitiga = (1/2) * r^2 * sin(α) = (1/2) * 2^2 * (√15 / 8) = (1/2) * 4 * (√15 / 8) = √15 / 4.

Luas segmen = Luas sektor - Luas segitiga = 4 * arccos(1/4) - √15 / 4.

Luas irisan adalah dua kali luas segmen ini.
Luas irisan = 2 * (4 * arccos(1/4) - √15 / 4) = 8 * arccos(1/4) - √15 / 2.

Menggunakan kalkulator, arccos(1/4) ≈ 1.3181 radian.
Luas irisan ≈ 8 * 1.3181 - √15 / 2 ≈ 10.5448 - 3.8730 / 2 ≈ 10.5448 - 1.9365 ≈ 8.6083 cm^2.

Jawaban yang lebih tepat adalah menggunakan nilai eksak.

Luas irisan = 8 arccos(1/4) - √15 / 2 cm^2