Luas segi-12 beraturan adalah 192 cm^2. Keliling segi-12

48(\sqrt{6}-\sqrt{2}) cm

Pembahasan

Untuk mencari keliling segi-12 beraturan, kita perlu mengetahui panjang sisinya terlebih dahulu. Luas segi-12 beraturan dapat dihitung dengan rumus: Luas = 3 \(\cot\left(\frac{\pi}{12}\right) s^2
, di mana s adalah panjang sisi. Kita diberikan luasnya adalah 192 cm^2. Maka:
192 = 3 \(\cot\left(\frac{\pi}{12}\right) s^2

Nilai dari \(\cot\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cot(15^°) = 2 + \sqrt{3}\).

192 = 3 (2 + \sqrt{3}) s^2

64 = (2 + \sqrt{3}) s^2

s^2 = \frac{64}{2 + \sqrt{3}}

s^2 = \frac{64(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}

s^2 = \frac{64(2 - \sqrt{3})}{4 - 3}

s^2 = 64(2 - \sqrt{3})

s = \sqrt{64(2 - \sqrt{3})}

s = 8\sqrt{2 - \sqrt{3}}

Untuk menyederhanakan \(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\), kita bisa menggunakan rumus \(\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+c}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-c}{2}}\), di mana c = \(\sqrt{a^2-b}\).
Dalam kasus ini, a=2 dan b=3, sehingga c = \(\sqrt{2^2-3} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1\).

\(\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\).

Maka, s = 8 \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = 4(\sqrt{6}-\sqrt{2}) cm.

Keliling segi-12 beraturan adalah 12 \times s.
Keliling = 12 \times 4(\sqrt{6}-\sqrt{2})
Keliling = 48(\sqrt{6}-\sqrt{2}) cm.

Perlu diperhatikan bahwa soal ini mungkin memiliki kesalahan ketik atau nilai yang tidak umum karena hasilnya cukup kompleks. Jika ada informasi tambahan atau koreksi, perhitungan dapat disesuaikan.