Misalkan f(x)= (kcos x/(pi-2x), untuk x=/=pi/2 3, untuk

k=6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep limit fungsi dan kontinuitas. Diketahui fungsi f(x) terdefinisi sebagai:

f(x) = k cos x / (π - 2x), untuk x ≠ π/2
f(x) = 3, untuk x = π/2

Syarat agar fungsi kontinu di x = π/2 adalah lim x→π/2 f(x) = f(π/2).

Kita perlu menghitung limit x→π/2 f(x):
lim x→π/2 (k cos x / (π - 2x))

Substitusi x = π/2 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 (karena cos(π/2) = 0 dan π - 2(π/2) = 0). Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau substitusi.

Menggunakan substitusi y = x - π/2, maka x = y + π/2. Ketika x → π/2, maka y → 0.
cos x = cos(y + π/2) = -sin y
π - 2x = π - 2(y + π/2) = π - 2y - π = -2y

Maka limitnya menjadi:
lim y→0 (k (-sin y) / (-2y))
= lim y→0 (k sin y / 2y)
= (k/2) lim y→0 (sin y / y)

Kita tahu bahwa lim y→0 (sin y / y) = 1.
Jadi, limitnya adalah (k/2) * 1 = k/2.

Karena lim x→π/2 f(x) = f(π/2), maka k/2 = 3.
Dengan mengalikan kedua sisi dengan 2, kita mendapatkan k = 6.

Jadi, nilai k adalah 6.