Misalkan P(x) suatu polinom sehingga P(x)+8x=P(x-2)+6z^2.

P(2) = 9.

Pembahasan

Diketahui hubungan antar suku-suku polinom P(x):
P(x) + 8x = P(x-2) + 6x^2
Kita bisa mengatur ulang persamaan ini untuk mencari selisih nilai P(x) pada titik-titik tertentu.

P(x) - P(x-2) = 6x^2 - 8x

Kita ingin mencari P(2) jika diketahui P(1)=1.
Mari kita substitusikan nilai x yang relevan untuk menghubungkan P(1) dan P(2).

Jika kita substitusikan x = 1:
P(1) - P(1-2) = 6(1)^2 - 8(1)
P(1) - P(-1) = 6 - 8
P(1) - P(-1) = -2
Karena P(1) = 1, maka 1 - P(-1) = -2, sehingga P(-1) = 3.

Sekarang, mari kita coba substitusikan x = 2:
P(2) - P(2-2) = 6(2)^2 - 8(2)
P(2) - P(0) = 6(4) - 16
P(2) - P(0) = 24 - 16
P(2) - P(0) = 8

Kita perlu mencari nilai P(0). Mari kita coba substitusikan x = 0:
P(0) - P(0-2) = 6(0)^2 - 8(0)
P(0) - P(-2) = 0
Jadi, P(0) = P(-2).

Ini belum cukup untuk menemukan P(2). Mari kita periksa kembali hubungan:
P(x) - P(x-2) = 6x^2 - 8x.

Jika kita menganggap P(x) adalah polinom kuadratik, misalkan P(x) = ax^2 + bx + c.
Maka:
P(x-2) = a(x-2)^2 + b(x-2) + c
P(x-2) = a(x^2 - 4x + 4) + bx - 2b + c
P(x-2) = ax^2 - 4ax + 4a + bx - 2b + c

P(x) - P(x-2) = (ax^2 + bx + c) - (ax^2 - 4ax + 4a + bx - 2b + c)
P(x) - P(x-2) = ax^2 + bx + c - ax^2 + 4ax - 4a - bx + 2b - c
P(x) - P(x-2) = 4ax - 4a + 2b

Kita tahu bahwa P(x) - P(x-2) = 6x^2 - 8x. Persamaan ini menunjukkan bahwa P(x) - P(x-2) adalah fungsi linear jika P(x) adalah kuadratik. Namun, hasil yang diberikan adalah 6x^2 - 8x, yang merupakan fungsi kuadratik.
Ini berarti P(x) bukan polinom kuadratik.

Mari kita coba asumsi bahwa P(x) adalah polinom kubik, P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Maka P(x) - P(x-2) akan menjadi polinom berderajat 2.

P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
P(x-2) = a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d
P(x-2) = a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + cx - 2c + d
P(x-2) = ax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d

P(x) - P(x-2) = (ax^3 + bx^2 + cx + d) - (ax^3 - 6ax^2 + 12ax - 8a + bx^2 - 4bx + 4b + cx - 2c + d)
P(x) - P(x-2) = ax^3 + bx^2 + cx + d - ax^3 + 6ax^2 - 12ax + 8a - bx^2 + 4bx - 4b - cx + 2c - d
P(x) - P(x-2) = 6ax^2 + (-12a + 4b)x + (8a - 4b + 2c)

Kita samakan dengan 6x^2 - 8x:
6a = 6  => a = 1
-12a + 4b = -8
-12(1) + 4b = -8
-12 + 4b = -8
4b = -8 + 12
4b = 4
b = 1

8a - 4b + 2c = 0 (karena tidak ada konstanta di sisi kanan 6x^2 - 8x)
8(1) - 4(1) + 2c = 0
8 - 4 + 2c = 0
4 + 2c = 0
2c = -4
c = -2

Jadi, P(x) = x^3 + x^2 - 2x + d.
Kita gunakan P(1) = 1 untuk mencari d:
P(1) = (1)^3 + (1)^2 - 2(1) + d
1 = 1 + 1 - 2 + d
1 = 0 + d
d = 1

Maka, P(x) = x^3 + x^2 - 2x + 1.

Sekarang kita cari P(2):
P(2) = (2)^3 + (2)^2 - 2(2) + 1
P(2) = 8 + 4 - 4 + 1
P(2) = 12 - 4 + 1
P(2) = 8 + 1
P(2) = 9.

Jadi, P(2) = 9.