Misalkan vektor a=a1i+a2j+a3k dan vektor b=b1i+b2j+b3k.

Identitas $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ dibuktikan menggunakan identitas Lagrange.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$, di mana $\theta$ adalah sudut antara vektor a dan b, kita akan menggunakan definisi hasil kali silang (cross product) dan sifat-sifatnya.

Definisi hasil kali silang antara dua vektor a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k adalah:
$a \times b = (a_2b_3 - a_3b_2)i - (a_1b_3 - a_3b_1)j + (a_1b_2 - a_2b_1)k$

Magnitudo dari hasil kali silang $|a \times b|$ adalah:
$|a \times b| = \sqrt{(a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2}$ 

Kita juga tahu bahwa hasil kali titik (dot product) dari dua vektor adalah $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$.
$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Identitas Lagrange menyatakan bahwa untuk dua vektor di R^3:
$|a \times b|^2 = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2$

Mari kita substitusikan definisi dari $|a \times b|^2$ dan $(a \cdot b)^2$ ke dalam identitas Lagrange:
$(a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_1b_3 - a_3b_1)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$

Dengan melakukan ekspansi aljabar pada kedua sisi, akan terbukti bahwa kedua sisi persamaan ini sama.

Sekarang, mari kita kaitkan dengan $|a||b| \sin \theta$.
Kita tahu bahwa $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, sehingga $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$.

Dari hasil kali titik, $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|}$.
Maka, $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{a \cdot b}{|a||b|}\right)^2} = \sqrt{\frac{|a|^2|b|^2 - (a \cdot b)^2}{|a|^2|b|^2}} = \frac{\sqrt{|a|^2|b|^2 - (a \cdot b)^2}}{|a||b|}$.

Dengan demikian, $|a||b| \sin \theta = |a||b| \frac{\sqrt{|a|^2|b|^2 - (a \cdot b)^2}}{|a||b|} = \sqrt{|a|^2|b|^2 - (a \cdot b)^2}$.

Karena identitas Lagrange menyatakan $|a \times b|^2 = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2$, maka:
$|a \times b| = \sqrt{|a|^2|b|^2 - (a \cdot b)^2}$

Sehingga, terbukti bahwa $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$.