Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan:
x^2 - xy + 3y^2 + 2x - 5y - 4 = 0
x + 2y = 4

Dari persamaan kedua, kita dapat mengekspresikan x dalam bentuk y: x = 4 - 2y.
Substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan pertama:
(4 - 2y)^2 - (4 - 2y)y + 3y^2 + 2(4 - 2y) - 5y - 4 = 0
(16 - 16y + 4y^2) - (4y - 2y^2) + 3y^2 + (8 - 4y) - 5y - 4 = 0
16 - 16y + 4y^2 - 4y + 2y^2 + 3y^2 + 8 - 4y - 5y - 4 = 0

Gabungkan suku-suku yang serupa:
(4y^2 + 2y^2 + 3y^2) + (-16y - 4y - 4y - 5y) + (16 + 8 - 4) = 0
9y^2 - 29y + 20 = 0

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
(9y - 20)(y - 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk y:
9y - 20 = 0 => y = 20/9
y - 1 = 0 => y = 1

Sekarang, kita cari nilai x yang sesuai menggunakan x = 4 - 2y:
Jika y = 20/9, maka x = 4 - 2(20/9) = 4 - 40/9 = (36 - 40)/9 = -4/9.
Jika y = 1, maka x = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2.

Kita perlu memeriksa apakah pasangan (x, y) ini memenuhi persamaan pertama. Namun, karena kita menurunkan nilai-nilai ini dari sistem, mereka seharusnya valid.

Sekarang, kita hitung x^2 - y^2:
Kasus 1: x = -4/9, y = 20/9
x^2 - y^2 = (-4/9)^2 - (20/9)^2 = (16/81) - (400/81) = -384/81 = -128/27

Kasus 2: x = 2, y = 1
x^2 - y^2 = (2)^2 - (1)^2 = 4 - 1 = 3.

Karena soal ini adalah soal pilihan ganda dan biasanya memiliki satu jawaban spesifik, mari kita periksa kembali pekerjaannya. Seringkali dalam konteks ini, solusi bilangan bulat lebih disukai jika tidak ditentukan sebaliknya.

Mari kita asumsikan solusi bilangan bulat adalah yang dimaksud:
x = 2, y = 1
x^2 - y^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3.

Jika kita memeriksa kembali faktorisasi 9y^2 - 29y + 20 = 0, memang benar bahwa (9y-20)(y-1) = 9y^2 - 9y - 20y + 20 = 9y^2 - 29y + 20.

Jadi, untuk solusi bilangan bulat (x=2, y=1), nilai x^2 - y^2 adalah 3.