Nilai dari integral 2 [3x^2+2k-1] dx

k^3 + 2k^2 - 5k - 6

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari integral \int_{2}^{k} (3x^2 + 2k - 1) dx, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Menentukan Antiturunan:**
    Antiturunan dari \(3x^2\) adalah \(x^3\).
    Antiturunan dari \(2k\) (di mana \(k\) dianggap konstanta terhadap \(x\)) adalah \(2kx\).
    Antiturunan dari \(-1\) adalah \(-x\).
    Jadi, antiturunan dari \(3x^2 + 2k - 1\) adalah \(F(x) = x^3 + 2kx - x + C\).

2.  **Menerapkan Teorema Dasar Kalkulus:**
    Integral tentu \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\).
    Dalam kasus ini, \(a = 2\) dan \(b = k\).
    \(\int_{2}^{k} (3x^2 + 2k - 1) dx = [x^3 + 2kx - x]_{2}^{k}\)

3.  **Menghitung F(k) dan F(2):**
    \(F(k) = k^3 + 2k(k) - k = k^3 + 2k^2 - k\).
    \(F(2) = (2)^3 + 2k(2) - 2 = 8 + 4k - 2 = 6 + 4k\).

4.  **Menghitung Integral Tentu:**
    \(\int_{2}^{k} (3x^2 + 2k - 1) dx = F(k) - F(2)\)
    \( = (k^3 + 2k^2 - k) - (6 + 4k)\)
    \( = k^3 + 2k^2 - k - 6 - 4k\)
    \( = k^3 + 2k^2 - 5k - 6\).

Jadi, nilai dari integral \(\int_{2}^{k} (3x^2 + 2k - 1) dx\) adalah \(k^3 + 2k^2 - 5k - 6\).