Nilai dari integral (2x-3)^2 dx=...

Nilai integralnya adalah (4/3)x^3 - 6x^2 + 9x + C atau (1/6)(2x - 3)^3 + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari (2x-3)^2 dx, kita dapat menggunakan metode substitusi atau ekspansi.

Menggunakan metode ekspansi:
(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9

Sekarang, kita integralkan suku demi suku:
∫(4x^2 - 12x + 9) dx = ∫4x^2 dx - ∫12x dx + ∫9 dx
= (4/3)x^3 - (12/2)x^2 + 9x + C
= (4/3)x^3 - 6x^2 + 9x + C

Menggunakan metode substitusi:
Misalkan u = 2x - 3, maka du = 2 dx, atau dx = du/2.
Integral menjadi ∫u^2 (du/2) = (1/2) ∫u^2 du
= (1/2) * (u^3 / 3) + C
= (1/6)u^3 + C

Substitusikan kembali u = 2x - 3:
= (1/6)(2x - 3)^3 + C

Kedua hasil tersebut ekuivalen. Untuk memverifikasi, ekspansikan (1/6)(2x - 3)^3:
(1/6)[(2x)^3 - 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3)^2 - 3^3]
= (1/6)[8x^3 - 3(4x^2)(3) + 3(2x)(9) - 27]
= (1/6)[8x^3 - 36x^2 + 54x - 27]
= (8/6)x^3 - (36/6)x^2 + (54/6)x - (27/6)
= (4/3)x^3 - 6x^2 + 9x - 4.5 + C
Perbedaan konstanta (-4.5) dapat diabaikan karena merupakan bagian dari konstanta integrasi C.
Jadi, nilai dari integral (2x-3)^2 dx adalah (4/3)x^3 - 6x^2 + 9x + C atau (1/6)(2x - 3)^3 + C.