Nilai dari lim x->0 (2x sin3x)/(1-cos6x) sama dengan ...

1/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan manipulasi aljabar.<br>Limit yang diberikan adalah: $\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin 3x}{1 - \cos 6x}$<br><br>Kita tahu identitas trigonometri berikut:<br>1. $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$<br>2. $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$<br><br>Mari kita ubah penyebutnya menggunakan identitas kedua. Untuk $1 - \cos 6x$, kita bisa menganggap $2A = 6x$, sehingga $A = 3x$.<br>Maka, $1 - \cos 6x = 2 \sin^2 3x$.<br><br>Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:<br>$\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin 3x}{2 \sin^2 3x}$<br><br>Kita bisa menyederhanakan $\sin 3x$ di pembilang dan penyebut:<br>$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{2 \sin 3x}$<br><br> = $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 3x}$<br><br>Kita juga tahu bahwa $\lim_{A \to 0} \frac{\sin A}{A} = 1$. Untuk menggunakan ini, kita perlu bentuk $\frac{3x}{\sin 3x}$.<br>Kita bisa menulis ulang ekspresi sebagai:<br>$\lim_{x \to 0} \frac{1}{3} \cdot \frac{3x}{\sin 3x}$<br><br>Karena $\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin 3x} = 1$, maka:<br>$\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$<br><br>Jadi, nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{2x \sin 3x}{1 - \cos 6x}$ adalah $\frac{1}{3}$.