Kelas 10Kelas 12Kelas 11mathAljabar Linear
Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga
Pertanyaan
Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Dengan menggunakan cara matriks, carilah bilangan itu.
Solusi
Verified
Bilangan tersebut adalah 349
Pembahasan
Misalkan bilangan yang terdiri dari 3 angka adalah $abc$, yang dapat ditulis sebagai $100a + 10b + c$.<br><br>Dari soal, kita mendapatkan informasi berikut:<br>1. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16: $a + b + c = 16$<br>2. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua: $a + b = c - 2$<br>3. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13: $100a + 10b + c = 21(a + b + c) + 13$<br><br>Kita akan menggunakan cara matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini.<br><br>Pertama, substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (3):<br>$100a + 10b + c = 21(16) + 13$<br>$100a + 10b + c = 336 + 13$<br>$100a + 10b + c = 349$<br><br>Sekarang kita punya sistem persamaan linear:<br>I. $a + b + c = 16$<br>II. $a + b - c = -2$<br>III. $100a + 10b + c = 349$<br><br>Kita dapat membentuk sistem persamaan ini menjadi bentuk matriks $AX = B$.<br>Untuk memudahkan, kita bisa eliminasi satu variabel terlebih dahulu.<br>Dari (I) dan (II):<br>Tambahkan (I) dan (II):<br>$(a + b + c) + (a + b - c) = 16 + (-2)$<br>$2a + 2b = 14$<br>$a + b = 7$<br><br>Substitusikan $a + b = 7$ ke dalam (I):<br>$7 + c = 16$<br>$c = 16 - 7$<br>$c = 9$<br><br>Substitusikan $a + b = 7$ dan $c = 9$ ke dalam (III):<br>$100a + 10b + 9 = 349$<br>$100a + 10b = 340$<br>Bagi dengan 10: $10a + b = 34$<br><br>Sekarang kita punya sistem persamaan baru dengan dua variabel:<br>1. $a + b = 7$<br>2. $10a + b = 34$<br><br>Kita bisa menyelesaikan ini menggunakan matriks.<br>Bentuk matriksnya adalah:<br>$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 10 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 34 \end{pmatrix}$<br><br>Untuk mencari $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, kita perlu mencari invers dari matriks koefisien $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 10 & 1 \end{pmatrix}$.<br>Determinan (D) = $(1)(1) - (1)(10) = 1 - 10 = -9$<br><br>Invers matriks = $\frac{1}{D} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -10 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -10 & 1 \end{pmatrix}$<br><br>Sekarang, kalikan invers matriks dengan matriks konstanta:<br>$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -10 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 34 \end{pmatrix}$<br><br>$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} (1)(7) + (-1)(34) \\ (-10)(7) + (1)(34) \end{pmatrix}$<br><br>$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 7 - 34 \\ -70 + 34 \end{pmatrix}$<br><br>$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -27 \\ -36 \end{pmatrix}$<br><br>$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-27}{-9} \\ \frac{-36}{-9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$<br><br>Jadi, $a = 3$ dan $b = 4$.<br>Kita sudah menemukan $c = 9$.<br><br>Angka-angkanya adalah 3, 4, dan 9. Bilangan tersebut adalah 349.<br><br>Mari kita cek:<br>Jumlah angka: $3 + 4 + 9 = 16$ (Benar)<br>Jumlah angka pertama dan kedua: $3 + 4 = 7$. Angka ketiga dikurangi dua: $9 - 2 = 7$ (Benar)<br>Nilai bilangan: $349$. 21 kali jumlah angka ditambah 13: $21(16) + 13 = 336 + 13 = 349$ (Benar)<br><br>Jadi, bilangan itu adalah 349.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Sistem Persamaan Linear
Section: Matriks Dan Sistem Persamaan
Apakah jawaban ini membantu?