Nilai dari lim x->3 (sin (2x-6))/(x^2-9)=....

Nilai limitnya adalah 1/3.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari lim x->3 (sin (2x-6))/(x^2-9), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena substitusi langsung x=3 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau tak hingga/tak hingga, maka limitnya sama dengan lim f'(x)/g'(x).
Turunan dari sin(2x-6) adalah cos(2x-6) * 2 = 2cos(2x-6).
Turunan dari x^2-9 adalah 2x.
Jadi, limitnya menjadi:
lim x->3 (2cos(2x-6)) / (2x)
Sekarang kita substitusikan x = 3:
= (2cos(2*3 - 6)) / (2*3)
= (2cos(0)) / 6
= (2 * 1) / 6
= 2/6
= 1/3
Alternatif lain adalah dengan menggunakan sifat limit trigonometri lim u->0 sin(u)/u = 1.
Kita bisa memanipulasi soal:
lim x->3 (sin (2x-6))/(x^2-9)
= lim x->3 (sin (2(x-3)))/((x-3)(x+3))
Kita kalikan dan bagi dengan 2 untuk mendapatkan bentuk sin(u)/u:
= lim x->3 (sin (2(x-3)))/(2(x-3)) * 2/((x-3)(x+3))
= lim x->3 (sin (2(x-3)))/(2(x-3)) * 2/((x-3)(x+3))
Karena lim x->3 (sin (2(x-3)))/(2(x-3)) = 1 (dengan u = 2(x-3)), maka:
= 1 * lim x->3 2/((x-3)(x+3))
Ini masih menghasilkan bentuk tak tentu. Mari kita kembali ke manipulasi:
= lim x->3 (sin (2(x-3)))/((x-3)(x+3))
= lim x->3 [sin(2(x-3))/(2(x-3))] * [2/(x+3)]
Ketika x -> 3, maka 2(x-3) -> 0. Sehingga lim x->3 [sin(2(x-3))/(2(x-3))] = 1.
Jadi limitnya menjadi:
= 1 * lim x->3 2/(x+3)
Substitusikan x = 3:
= 1 * (2 / (3+3))
= 1 * (2/6)
= 1/3