Nilai dari lim x->tak hingga (x-akar(x^2-2x+1)) adalah ...

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan teknik mengalikan dengan akar sekawan.

Limit yang diberikan adalah: lim x→∞ (x - √(x² - 2x + 1))

Kita tahu bahwa √(x² - 2x + 1) = |x - 1|. Karena x → ∞, maka x positif dan x > 1, sehingga |x - 1| = x - 1.

Jadi, ekspresi tersebut menjadi:
lim x→∞ (x - (x - 1))
lim x→∞ (x - x + 1)
lim x→∞ (1)

Nilai limitnya adalah 1.

Atau, kita bisa mengalikan dengan akar sekawan:
lim x→∞ (x - √(x² - 2x + 1)) * (x + √(x² - 2x + 1)) / (x + √(x² - 2x + 1))
= lim x→∞ (x² - (x² - 2x + 1)) / (x + √(x² - 2x + 1))
= lim x→∞ (x² - x² + 2x - 1) / (x + √(x² - 2x + 1))
= lim x→∞ (2x - 1) / (x + √(x² - 2x + 1))

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
= lim x→∞ (2 - 1/x) / (1 + √(1 - 2/x + 1/x²))

Karena x → ∞, maka 1/x → 0 dan 1/x² → 0.
= (2 - 0) / (1 + √(1 - 0 + 0))
= 2 / (1 + √1)
= 2 / (1 + 1)
= 2 / 2
= 1