Nilai lim x -> 0 (1-akar(1-tan x))/(sin x) adalah ... a.

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - \tan x}}{\sin x}$, kita dapat menggunakan metode L'Hopital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Turunan dari pembilang (1 - $\sqrt{1 - \tan x}$) adalah:
- Turunan dari 1 adalah 0.
- Turunan dari -$\sqrt{1 - \tan x}$ = - $\frac{1}{2 \sqrt{1 - \tan x}}$ * (-sec²x) = $\frac{\sec^2 x}{2 \sqrt{1 - \tan x}}$

Turunan dari penyebut ($\sin x$) adalah $\cos x$.

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sec^2 x}{2 \sqrt{1 - \tan x}}}{\cos x}$

Substitusikan x = 0:
$\sec 0 = 1$, $\cos 0 = 1$, $\tan 0 = 0$

$\frac{\frac{1^2}{2 \sqrt{1 - 0}}}{1} = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{1}}}{1} = \frac{1}{2}$

Alternatif lain adalah dengan mengalikan dengan akar sekawan:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - \tan x}}{\sin x} \times \frac{1 + \sqrt{1 - \tan x}}{1 + \sqrt{1 - \tan x}}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - \tan x)}{\sin x (1 + \sqrt{1 - \tan x})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x (1 + \sqrt{1 - \tan x})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x (1 + \sqrt{1 - \tan x})}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x (1 + \sqrt{1 - \tan x})}$
$= \frac{1}{\cos 0 (1 + \sqrt{1 - \tan 0})}$
$= \frac{1}{1 (1 + \sqrt{1 - 0})} = \frac{1}{1 (1 + 1)} = \frac{1}{2}$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{2}$. Pilihan yang benar adalah C.