Persamaan x^3-5px^2+9px-5=0 memiliki sepasang akar-akar

a. p = 3/2, b. 225/4, c. 117/4

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah x³ - 5px² + 9px - 5 = 0. Diketahui bahwa persamaan ini memiliki sepasang akar-akar yang saling berkebalikan. Misalkan akar-akarnya adalah α, β, dan γ. Jika sepasang akar berkebalikan, kita bisa misalkan α = 1/β. Berdasarkan teorema Vieta untuk persamaan kubik:
1. Jumlah akar-akar: α + β + γ = -(-5p)/1 = 5p
2. Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan: αβ + αγ + βγ = 9p/1 = 9p
3. Hasil kali akar-akar: αβγ = -(-5)/1 = 5

Karena α = 1/β, maka αβ = 1. Substitusikan ini ke dalam hasil kali akar-akar: (αβ)γ = 5 => 1 * γ = 5 => γ = 5.
Sekarang kita punya salah satu akarnya adalah 5. Substitusikan γ = 5 ke dalam persamaan jumlah akar dan jumlah hasil kali akar berpasangan:
α + β + 5 = 5p
αβ + α(5) + β(5) = 9p => 1 + 5(α + β) = 9p
Dari α + β + 5 = 5p, kita dapatkan α + β = 5p - 5.
Substitusikan α + β ke persamaan kedua: 1 + 5(5p - 5) = 9p => 1 + 25p - 25 = 9p => 16p = 24 => p = 24/16 = 3/2.

a. Nilai p = 3/2.

b. Kuadrat jumlah akar-akarnya: (α + β + γ)² = (5p)² = (5 * 3/2)² = (15/2)² = 225/4.

c. Jumlah kuadrat akar-akarnya: α² + β² + γ² = (α + β + γ)² - 2(αβ + αγ + βγ) = (5p)² - 2(9p) = (5 * 3/2)² - 2(9 * 3/2) = (15/2)² - 27 = 225/4 - 27 = 225/4 - 108/4 = 117/4.