Tentukan bayangan titik A(-3,4) dengan menggunakan matriks

a. A'(-3√3/2 - 2, -3/2 + 2√3), b. A''(-1 - √3, 3 - 2√3)

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan titik A(-3,4) setelah transformasi rotasi:

a. Rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar 30 derajat berlawanan arah jarum jam:
Rumus rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar θ adalah:
X' = x cos θ - y sin θ
Y' = x sin θ + y cos θ
Dengan x = -3, y = 4, dan θ = 30°.
cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2.
X' = -3(√3/2) - 4(1/2) = -3√3/2 - 2
Y' = -3(1/2) + 4(√3/2) = -3/2 + 2√3
Jadi, bayangan titik A adalah A'(-3√3/2 - 2, -3/2 + 2√3).

b. Rotasi dengan pusat P(1,2) sebesar 60 derajat berlawanan arah jarum jam:
Langkah pertama adalah menggeser titik A sehingga pusat rotasi P menjadi titik asal O(0,0). Titik A'(-3,4) relatif terhadap P(1,2) adalah A_translated = (-3 - 1, 4 - 2) = (-4, 2).
Sekarang kita rotasikan titik A_translated(-4, 2) dengan pusat O(0,0) sebesar 60 derajat berlawanan arah jarum jam.
Rumus rotasi dengan pusat O(0,0) sebesar θ adalah:
X'' = x' cos θ - y' sin θ
Y'' = x' sin θ + y' cos θ
Dengan x' = -4, y' = 2, dan θ = 60°.
cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2.
X'' = -4(1/2) - 2(√3/2) = -2 - √3
Y'' = -4(√3/2) + 2(1/2) = -2√3 + 1
Terakhir, kita geser kembali titik hasil rotasi sejauh vektor translasi P(1,2). Bayangan akhir A'' adalah (X'' + 1, Y'' + 2).
A'' = (-2 - √3 + 1, -2√3 + 1 + 2) = (-1 - √3, 3 - 2√3).
Jadi, bayangan titik A adalah A''(-1 - √3, 3 - 2√3).