Nilai lim x->0 ((1-akar(cos x))cot x)/x= ...

1/4

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari lim x->0 ((1-akar(cos x))cot x)/x, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya dengan mengubah bentuk cot x menjadi cos x / sin x dan kemudian menggunakan L'Hopital's rule atau manipulasi aljabar.

Mari kita ubah cot x menjadi cos x / sin x:
lim x->0 ((1-sqrt(cos x)) * (cos x / sin x)) / x
lim x->0 (1-sqrt(cos x)) * cos x / (x * sin x)

Kita tahu bahwa lim x->0 (sin x / x) = 1. Jadi, kita bisa memanipulasi ekspresi tersebut:
lim x->0 (1-sqrt(cos x)) * cos x / (x * sin x)
= lim x->0 [(1-sqrt(cos x)) / x] * [cos x / sin x]

Kita bisa memisahkan limitnya:
lim x->0 (1-sqrt(cos x)) / x  * lim x->0 (cos x / sin x)

Untuk limit pertama, jika kita substitusikan x=0, kita mendapatkan (1-sqrt(cos 0))/0 = (1-1)/0 = 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu. Kita bisa menggunakan L'Hopital's rule.
Turunan dari (1-sqrt(cos x)) adalah -1/(2*sqrt(cos x)) * (-sin x) = sin x / (2*sqrt(cos x)).
Turunan dari x adalah 1.
Jadi, lim x->0 [sin x / (2*sqrt(cos x))] / 1 = sin 0 / (2*sqrt(cos 0)) = 0 / (2*1) = 0.

Untuk limit kedua, lim x->0 (cos x / sin x) = cos 0 / sin 0 = 1 / 0, yang mendekati tak hingga.

Kesalahan dalam pemisahan limit di atas. Mari kita kembali ke bentuk:
lim x->0 (1-sqrt(cos x)) * cos x / (x * sin x)
Kita bisa mengalikan dengan konjugat dari (1-sqrt(cos x)), yaitu (1+sqrt(cos x)):
lim x->0 [(1-sqrt(cos x))(1+sqrt(cos x)) * cos x] / [x * sin x * (1+sqrt(cos x))]
= lim x->0 [(1 - cos x) * cos x] / [x * sin x * (1+sqrt(cos x))]

Kita tahu bahwa 1 - cos x = 2 sin^2(x/2).
Dan sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2).
Jadi, ekspresi menjadi:
= lim x->0 [2 sin^2(x/2) * cos x] / [x * 2 sin(x/2) cos(x/2) * (1+sqrt(cos x))]

Kita bisa menyederhanakan sin(x/2):
= lim x->0 [sin(x/2) * cos x] / [x * cos(x/2) * (1+sqrt(cos x))]

Kita bisa memisahkan x di penyebut menjadi (x/2) * 2:
= lim x->0 [sin(x/2) / (x/2)] * [cos x / (2 * cos(x/2) * (1+sqrt(cos x)))]

Kita tahu bahwa lim y->0 (sin y / y) = 1. Jadi, lim x->0 (sin(x/2) / (x/2)) = 1.

Sekarang substitusikan x=0 ke bagian lainnya:
= 1 * [cos 0 / (2 * cos(0/2) * (1+sqrt(cos 0)))]
= 1 * [1 / (2 * cos 0 * (1+sqrt(1)))]
= 1 * [1 / (2 * 1 * (1+1))]
= 1 * [1 / (2 * 2)]
= 1/4

Jadi, nilai dari lim x->0 ((1-akar(cos x))cot x)/x adalah 1/4.