Nilai lim x->1 (x^2n-x)/(1-x)=...

Nilai limitnya adalah 1-n jika n=1, dan 1-2n jika bentuknya (x^2n-x)/(1-x).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau aturan L'Hopital. 
Metode Faktorisasi: 
lim x->1 (x^2n-x)/(1-x) = lim x->1 x(x^(n-1)-1)/(1-x). 
Jika n=1, maka lim x->1 x(x^0-1)/(1-x) = lim x->1 x(1-1)/(1-x) = lim x->1 0/(1-x) = 0. 
Jika n>1, kita dapat memfaktorkan x^(n-1)-1 menggunakan rumus selisih pangkat. 
lim x->1 x(x-1)(x^(n-2)+x^(n-3)+...+1)/(1-x) = lim x->1 -x(1-x)(x^(n-2)+x^(n-3)+...+1)/(1-x) = lim x->1 -x(x^(n-2)+x^(n-3)+...+1). 
Mengganti x=1, kita dapatkan -1(1^(n-2)+1^(n-3)+...+1) = -1(1+1+...+1) (sebanyak n kali) = -n. 

Aturan L'Hopital: 
Karena substitusi x=1 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menurunkan pembilang dan penyebut terhadap x. 
d/dx (x^2n - x) = n*x^(n-1) - 1 
d/dx (1 - x) = -1 
Jadi, lim x->1 (n*x^(n-1) - 1) / (-1). 
Mengganti x=1, kita dapatkan (n*1^(n-1) - 1) / (-1) = (n - 1) / (-1) = 1 - n. 

Namun, ada kekeliruan dalam interpretasi soal, seharusnya x^2n bukan x^n. Mari kita asumsikan soalnya adalah lim x->1 (x^2n - x^n) / (1-x) atau lim x->1 (x^n - x) / (1-x). 

Jika soalnya adalah lim x->1 (x^n - x) / (1-x), maka jawabannya adalah 1-n. 
Jika soalnya adalah lim x->1 (x^2n - x) / (1-x), maka jawabannya adalah 1-2n.