Nilai lim x->tak hingga(akar(9x^2-6x-1)-(3x+1)=...

-2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode mengalikan dengan konjugat.
Limit yang diberikan adalah: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2 - 6x - 1} - (3x + 1))$

Langkah 1: Tulis ulang ekspresi.
$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2 - 6x - 1} - 3x - 1)$

Langkah 2: Kalikan dengan konjugat dari ekspresi tersebut, yaitu $(\sqrt{9x^2 - 6x - 1} + 3x + 1)$, baik di pembilang maupun penyebut.

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{9x^2 - 6x - 1} - (3x + 1))(\sqrt{9x^2 - 6x - 1} + (3x + 1))}{(\sqrt{9x^2 - 6x - 1} + (3x + 1))}$

Langkah 3: Gunakan rumus $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ pada pembilang.
$= \lim_{x \to \infty} \frac{(9x^2 - 6x - 1) - (3x + 1)^2}{(\sqrt{9x^2 - 6x - 1} + 3x + 1)}$

Langkah 4: Jabarkan $(3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(1) + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1$.
$= \lim_{x \to \infty} \frac{9x^2 - 6x - 1 - (9x^2 + 6x + 1)}{(\sqrt{9x^2 - 6x - 1} + 3x + 1)}$

Langkah 5: Sederhanakan pembilang.
$= \lim_{x \to \infty} \frac{9x^2 - 6x - 1 - 9x^2 - 6x - 1}{(\sqrt{9x^2 - 6x - 1} + 3x + 1)}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{-12x - 2}{(\sqrt{9x^2 - 6x - 1} + 3x + 1)}$

Langkah 6: Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x.
Untuk penyebut, kita perlu mengeluarkan x dari akar. Ingat bahwa $\sqrt{x^2} = |x|$. Karena $x \to \infty$, maka x positif, jadi $\sqrt{x^2} = x$.
$\sqrt{9x^2 - 6x - 1} = \sqrt{x^2(9 - \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2})} = x\sqrt{9 - \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-12x}{x} - \frac{2}{x}}{(\frac{x\sqrt{9 - \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{1}{x})}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{-12 - \frac{2}{x}}{(\sqrt{9 - \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}} + 3 + \frac{1}{x})}$

Langkah 7: Substitusikan $x \to \infty$. Nilai dari $\frac{c}{x}$ atau $\frac{c}{x^2}$ akan menjadi 0 ketika $x$ mendekati tak hingga.
$= \frac{-12 - 0}{(\sqrt{9 - 0 - 0} + 3 + 0)}$
$= \frac{-12}{(\sqrt{9} + 3)}$
$= \frac{-12}{(3 + 3)}$
$= \frac{-12}{6}$
$= -2$

Jadi, nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2 - 6x - 1} - (3x + 1))$ adalah -2.