Nilai limit x->0 (1-akar(1+x))/(x^2-x)= ....

1/2

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit x mendekati 0 dari fungsi (1-akar(1+x))/(x^2-x), kita bisa menggunakan metode substitusi atau metode L'Hopital jika bentuknya tak tentu.

Metode Substitusi:
Substitusikan x=0 ke dalam fungsi:
(1 - akar(1+0))/(0^2 - 0) = (1 - akar(1))/0 = (1 - 1)/0 = 0/0
Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan metode L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Metode L'Hopital:
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang (1-akar(1+x)) adalah 0 - (1/2)*(1+x)^(-1/2) = -1/(2*akar(1+x))
Turunan penyebut (x^2-x) adalah 2x - 1

Sekarang cari limit dari hasil turunan tersebut saat x mendekati 0:
Limit x->0 [-1/(2*akar(1+x))] / (2x-1)
= [-1/(2*akar(1+0))] / (2*0 - 1)
= [-1/(2*1)] / (-1)
= (-1/2) / (-1)
= 1/2

Manipulasi Aljabar (mengalikan dengan konjugat):
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang (1+akar(1+x)):
[(1-akar(1+x))/(x^2-x)] * [(1+akar(1+x))/(1+akar(1+x))]
= [(1^2 - (akar(1+x))^2)] / [(x^2-x)(1+akar(1+x))]
= [1 - (1+x)] / [x(x-1)(1+akar(1+x))]
= [1 - 1 - x] / [x(x-1)(1+akar(1+x))]
= -x / [x(x-1)(1+akar(1+x))]

Setelah disederhanakan (dengan membagi x di pembilang dan penyebut, dengan syarat x tidak sama dengan 0):
= -1 / [(x-1)(1+akar(1+x))]

Sekarang substitusikan x=0:
= -1 / [(0-1)(1+akar(1+0))]
= -1 / [(-1)(1+1)]
= -1 / [(-1)(2)]
= -1 / (-2)
= 1/2

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.