Nilai limit x->0 (1-cos 2x)/(2x sin 2x)= ....

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\\lim_{x \to 0} \frac{1 - 	extrm{cos } 2x}{2x 	extrm{ sin } 2x}$, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital atau substitusi.

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu identitas trigonometri: $1 - 	extrm{cos } 2x = 2 	extrm{ sin}^2 x$ dan $	extrm{sin } 2x = 2 	extrm{ sin } x 	extrm{ cos } x$.

Gantikan identitas ini ke dalam ekspresi limit:
$\\lim_{x \to 0} \frac{2 	extrm{ sin}^2 x}{2x (2 	extrm{ sin } x 	extrm{ cos } x)}$
$\\lim_{x \to 0} \frac{2 	extrm{ sin}^2 x}{4x 	extrm{ sin } x 	extrm{ cos } x}$

Batalkan satu $	extrm{sin } x$ dari pembilang dan penyebut:
$\\lim_{x \to 0} \frac{2 	extrm{ sin } x}{4x 	extrm{ cos } x}$

Pisahkan konstanta dan gunakan limit $\\lim_{x \to 0} \frac{	extrm{sin } x}{x} = 1$ dan $\\lim_{x \to 0} 	extrm{cos } x = 1$:
$\\frac{2}{4} \\lim_{x \to 0} \frac{	extrm{sin } x}{x} \\lim_{x \to 0} \frac{1}{	extrm{cos } x}$
$\\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1}$
$\\frac{1}{2}$

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital (jika ragu dengan metode pertama atau ingin konfirmasi)
Saat x mendekati 0, baik pembilang maupun penyebut mendekati 0, sehingga kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital.
Turunan dari pembilang $(1 - 	extrm{cos } 2x)$ adalah $- (-	extrm{sin } 2x) 	imes 2 = 2 	extrm{ sin } 2x$.
Turunan dari penyebut $(2x 	extrm{ sin } 2x)$ menggunakan aturan perkalian: $(2)(	extrm{sin } 2x) + (2x)(	extrm{cos } 2x 	imes 2) = 2 	extrm{ sin } 2x + 4x 	extrm{ cos } 2x$.

Sekarang terapkan limit pada hasil turunannya:
$\\lim_{x \to 0} \frac{2 	extrm{ sin } 2x}{2 	extrm{ sin } 2x + 4x 	extrm{ cos } 2x}$

Substitusikan x = 0:
$\\frac{2 	extrm{ sin }(0)}{2 	extrm{ sin }(0) + 4(0) 	extrm{ cos }(0)} = \\frac{2 	imes 0}{2 	imes 0 + 0} = \\frac{0}{0}$

Karena masih berbentuk 0/0, kita terapkan L'Hopital lagi.
Turunan baru dari pembilang $(2 	extrm{ sin } 2x)$ adalah $2 (	extrm{cos } 2x) 	imes 2 = 4 	extrm{ cos } 2x$.
Turunan baru dari penyebut $(2 	extrm{ sin } 2x + 4x 	extrm{ cos } 2x)$ adalah $2 (	extrm{cos } 2x) 	imes 2 + [4 	extrm{ cos } 2x + 4x (-	extrm{sin } 2x) 	imes 2] = 4 	extrm{ cos } 2x + 4 	extrm{ cos } 2x - 8x 	extrm{ sin } 2x = 8 	extrm{ cos } 2x - 8x 	extrm{ sin } 2x$.

Terapkan limit pada hasil turunan kedua:
$\\lim_{x \to 0} \frac{4 	extrm{ cos } 2x}{8 	extrm{ cos } 2x - 8x 	extrm{ sin } 2x}$

Substitusikan x = 0:
$\\frac{4 	extrm{ cos }(0)}{8 	extrm{ cos }(0) - 8(0) 	extrm{ sin }(0)} = \\frac{4 	imes 1}{8 	imes 1 - 0} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.