Nilai limit x->0 (1-cos^2x)/(x^2 cotan(x+pi/3)) sama

√3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x->0 (1-cos^2x)/(x^2 cotan(x+pi/3)), kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan sifat-sifat limit.

Ingat identitas trigonometri: sin^2(x) + cos^2(x) = 1, sehingga 1 - cos^2(x) = sin^2(x).

Jadi, ekspresi menjadi: sin^2(x) / (x^2 cotan(x + pi/3))

Kita juga tahu bahwa cotan(A) = 1 / tan(A).

Ekspresi menjadi: sin^2(x) / (x^2 * (1 / tan(x + pi/3)))
Ekspresi menjadi: (sin^2(x) * tan(x + pi/3)) / x^2
Ekspresi menjadi: (sin(x)/x) * (sin(x)/x) * tan(x + pi/3)

Kita tahu bahwa limit x->0 (sin(x)/x) = 1.

Jadi, limitnya adalah: 1 * 1 * tan(0 + pi/3)
= tan(pi/3)

Nilai tan(pi/3) adalah √3.

Jadi, nilai limitnya adalah √3.

Mari kita periksa kembali perhitungan.

Limit x->0 (1-cos^2x)/(x^2 cotan(x+pi/3))
= Limit x->0 (sin^2x)/(x^2 cotan(x+pi/3))
= Limit x->0 (sin^2x)/(x^2 * cos(x+pi/3)/sin(x+pi/3))
= Limit x->0 (sin^2x * sin(x+pi/3)) / (x^2 * cos(x+pi/3))
= Limit x->0 (sin^2x / x^2) * (sin(x+pi/3) / cos(x+pi/3))

Kita tahu Limit x->0 (sin^2x / x^2) = (Limit x->0 sinx/x)^2 = 1^2 = 1.

Jadi, limitnya menjadi: 1 * (sin(0+pi/3) / cos(0+pi/3))
= sin(pi/3) / cos(pi/3)
= tan(pi/3)

Nilai tan(pi/3) = √3.

Jadi, nilai limitnya adalah √3.